Twierdzenie Mellina o inwersji

Twierdzenia Mellina o inwersji – twierdzenie mówiące o warunkach, dla których możemy zastosować transformację Mellina lub jej odwrotność, aby uzyskać funkcję, na której zastosowaliśmy je. Twierdzenie nosi nazwisko Hjalmara Mellina^[1].

Treść twierdzenia

Niech ${\displaystyle \varphi (s)}$ będzie funkcją analityczną w obszarze ${\displaystyle a<\Re (s)<b}$, która dąży jednostajnie do 0 gdy ${\displaystyle \Im (s)\to \pm \infty }$ dla dowolnej wartości ${\displaystyle \Re (s)}$ w tym obszarze i dla której

${\displaystyle \int _{c-\infty i}^{c+\infty i}|\varphi (s)|ds<\infty }$

dla dowolnej liczby ${\displaystyle c\in (a,b)}$. Wówczas

${\displaystyle f(x)=\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-\infty i}^{c+\infty i}x^{-s}\varphi (s)\;ds}$

wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \varphi (s)=\{{\mathcal {M}}f\}(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\;dx}$.

Przypisy