Twierdzenie Straszewicza

Zbiór wypukły (kolor czerwony) wraz z zaznaczonymi punktami ekstremalnymi, które nie są eksponowane. Punkty te leżą w domknięciu zbioru punktów eksponowanych leżących na łuku będącym częścią brzegu zaznaczonego zbioru wypukłego.

Twierdzenie Straszewicza – twierdzenie geometrii wypukłej, mówiące, że dla każdego zwartego i wypukłego podzbioru K {\displaystyle K} przestrzeni euklidesowej zbiór e x t K {\displaystyle \mathrm {ext} K} punktów ekstremalnych K {\displaystyle K} zawiera się w domknięciu zbioru exp ⁡ K {\displaystyle \exp K} punktów eksponowanych zbioru K ; {\displaystyle K;} symbolicznie:

e x t K ⊆ exp K ¯ . {\displaystyle \mathrm {ext} \,K\subseteq {\overline {\exp \,K}}.}

W szczególności

K = c o n v ¯ exp K , {\displaystyle K={\overline {\mathrm {conv} }}\,\exp \,K,}

tj. K {\displaystyle K} jest domknięciem otoczki wypukłej zbioru swoich punktów eksponowanych[1].

Twierdzenie udowodnione w 1935 roku przez Stefana Straszewicza[2].

Przypisy

  1. ↑ Schneider 1993 ↓, s. 18.
  2. ↑ S. Straszewicz, Über exponierte Punkte abgeschlossener Punktmengen, Fund. Math., 24 (1935), s. 139–143.

Bibliografia

  • Rolf Schneider: Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory. Cambridge University Press, 1993, seria: Encyclopedia of Mathematics and its Applications. ISBN 978-0521352208.