Twierdzenia Sylowa

Twierdzenia Sylowa – twierdzenia teorii grup autorstwa Petera Sylowa[1], czasem formułowane jako jedno twierdzenie Sylowa. Wynik ten jest częściowym odwróceniem twierdzenia Lagrange’a (rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu danej grupy), a zarazem uogólnieniem twierdzenia Cauchy’ego (o istnieniu podgrupy rzędu będącego liczbą pierwszą dzielącym rząd danej grupy).

Twierdzenia

 Zobacz też: p-grupa.

Niech p {\displaystyle p} będzie liczbą pierwszą, która ponadto jest względnie pierwsza z liczbą naturalną r {\displaystyle r} (tzn. największy wspólny dzielnik n w d ( p , r ) = 1 {\displaystyle \mathrm {nwd} (p,r)=1} ). Niech G {\displaystyle G} będzie grupą rzędu | G | = p k r , {\displaystyle |G|=p^{k}r,} gdzie k {\displaystyle k} jest pewną nieujemną liczbą całkowitą; dowolną jej podgrupę rzędu p i , {\displaystyle p^{i},} gdzie i = 1 , … , k {\displaystyle i=1,\dots ,k} nazywa się p {\displaystyle p} -podgrupą tej grupy, przy czym podgrupy rzędu p k {\displaystyle p^{k}} nazywane są p {\displaystyle p} -podgrupami Sylowa.

Pierwsze twierdzenie Sylowa
W grupie G {\displaystyle G} istnieje (co najmniej jedna) p {\displaystyle p} -podgrupa Sylowa.
Drugie twierdzenie Sylowa
Wszystkie p {\displaystyle p} -podgrupy Sylowa grupy G {\displaystyle G} są sprzężone, tzn. dla dowolnych p {\displaystyle p} -podgrup Sylowa H , K {\displaystyle H,K} grupy G {\displaystyle G} istnieje taki automorfizm wewnętrzny φ g {\displaystyle \varphi _{g}} tej grupy ( φ g ( a ) = g a g − 1 {\displaystyle \varphi _{g}(a)=gag^{-1}} ), że φ [ H ] = K . {\displaystyle \varphi [H]=K.}
Trzecie twierdzenie Sylowa
Liczba s p {\displaystyle s_{p}} wszystkich p {\displaystyle p} -podgrup Sylowa grupy G {\displaystyle G} przystaje do jedynki modulo p , {\displaystyle p,} tzn. s p ≡ 1 mod p {\displaystyle s_{p}\equiv 1{\bmod {p}}} (czyli p {\displaystyle p} jest dzielnikiem s p − 1 , {\displaystyle s_{p}-1,} tj. p | s p − 1 {\displaystyle p|s_{p}-1} ).

Wnioski

Z twierdzenia Lagrange’a wynika, że p {\displaystyle p} -podgrupa Sylowa jest jej maksymalną (w sensie zawierania) p {\displaystyle p} -podgrupą, a jej indeks równy r {\displaystyle r} nie jest podzielny przez p , {\displaystyle p,} innymi słowy s p | r . {\displaystyle s_{p}|r.} Z drugiego twierdzenia wynika, że warunek s p = 1 {\displaystyle s_{p}=1} jest równoważny normalności (a nawet charakterystyczności) p {\displaystyle p} -podgrupy Sylowa[a]. Z pierwszego i drugiego twierdzenia Sylowa wynika, że jeżeli H {\displaystyle H} jest p {\displaystyle p} -podgrupą Sylowa w G , {\displaystyle G,} zaś K {\displaystyle K} jest p {\displaystyle p} -podgrupą normalną w G , {\displaystyle G,} to istnieje taki element g ∈ G , {\displaystyle g\in G,} dla którego K {\displaystyle K} jest podgrupą normalną w g H g − 1 . {\displaystyle gHg^{-1}.}

Jeżeli p {\displaystyle p} jest dzielnikiem rzędu | G | {\displaystyle |G|} grupy G , {\displaystyle G,} to w grupie tej istnieje element rzędu p {\displaystyle p} (tzw. twierdzenie Cauchy’ego); ponadto s p {\displaystyle s_{p}} dzieli wtedy | G | . {\displaystyle |G|.} Jeżeli każdy element g ∈ G {\displaystyle g\in G} ma rząd postaci p k , {\displaystyle p^{k},} to G {\displaystyle G} jest p {\displaystyle p} -grupą. Jeśli p > q {\displaystyle p>q} oraz | G | = p q , {\displaystyle |G|=pq,} gdzie p , q {\displaystyle p,q} są pewnymi liczbami pierwszymi, to w G {\displaystyle G} istnieje podgrupa normalna rzędu p ; {\displaystyle p;} jeżeli q {\displaystyle q} nie dzieli ponadto p − 1 , {\displaystyle p-1,} to grupa G {\displaystyle G} jest cykliczna. W szczególności jeśli q {\displaystyle q} nie dzieli p − 1 {\displaystyle p-1} oraz p {\displaystyle p} nie dzieli q − 1 , {\displaystyle q-1,} to jedyną grupą rzędu p q {\displaystyle pq} jest suma prosta grup cyklicznych o rzędach p {\displaystyle p} i q . {\displaystyle q.}

Przykłady

Niech G {\displaystyle G} będzie grupą rzędu 33. {\displaystyle 33.} Z twierdzeń Sylowa wynika, że grupa G {\displaystyle G} zawiera 11 {\displaystyle 11} -podgrupę H 11 {\displaystyle H_{11}} rzędu 11 {\displaystyle 11} (przynajmniej jedną), a ponadto s 11 | 3 {\displaystyle s_{11}|3} oraz 11 | s 11 − 1 , {\displaystyle 11|s_{11}-1,} skąd wynika, że s 11 = 1 {\displaystyle s_{11}=1} i normalność H 11 . {\displaystyle H_{11}.} Podobnie s 3 | 11 {\displaystyle s_{3}|11} oraz 3 | s 3 − 1 , {\displaystyle 3|s_{3}-1,} skąd 3 {\displaystyle 3} -podgrupa Sylowa H 3 {\displaystyle H_{3}} rzędu 3 {\displaystyle 3} grupy G {\displaystyle G} również jest normalna. Obie te podgrupy są cykliczne (a stąd przemienne), zaś ich suma prosta jest izomorficzna z G , {\displaystyle G,} co oznacza, że również jest przemienna i jest jedyną (z dokładnością do izomorfizmu) grupą rzędu 33. {\displaystyle 33.} W podobny sposób można dokonać klasyfikacji grup rzędu 99 {\displaystyle 99} [2].

Rozumując w analogiczny sposób można dowieść, że jedynymi grupami rzędu 6 {\displaystyle 6} (z dokładnością do izomorfizmu) są grupa cykliczna Z 6 {\displaystyle \mathbb {Z} _{6}} oraz grupa symetryczna S 3 . {\displaystyle S_{3}.}

Uwagi

  1. ↑ Przykładem grupy, która ma podgrupy normalne niebędące podgrupami Sylowa, jest np. grupa symetryczna S 4 . {\displaystyle S_{4}.}

Przypisy

  1. ↑ Sylow 1872 ↓.
  2. ↑ James S. Milne: Group Theory. s. 81.

Bibliografia

  • Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1972, s. 31-33.
  • Jerzy Browkin: Teoria reprezentacji grup skończonych. Warszawa: PWN, 2010, s. 14-15. ISBN 978-83-01-16051-7.
  • Czesław Bagiński: Wstęp do teorii grup. Warszawa: Script, 2002, s. 89-96. ISBN 83-904564-9-4.
  • Michaił Iwanowicz Kargapołow, Jurij Iwanowicz Mierzlakow: Podstawy teorii grup. Warszawa: PWN, 1989, s. 107-108. ISBN 83-01-08736-6.
  • Jean-Pierre Serre: Reprezentacje liniowe grup skończonych. Warszawa: PWN, 1988, s. 88-89. ISBN 83-01-07908-8.

Dowody

  • Giuseppina Casadio, Guido Zappa. History of the Sylow theorem and its proofs. „Bollettino di Storia delle Scienze Matematiche”. 10 (1), s. 29–75, 1990. ISSN 0392-4432. MR1096350. (wł.). 
  • Rod Gow. Sylow's proof of Sylow's theorem. „Irish Mathematical Society Bulletin”, s. 55–63, 1994. ISSN 0791-5578. MR1313412. 
  • Florian Kammüller, Lawrence C. Paulson. A formal proof of Sylow's theorem. An experiment in abstract algebra with Isabelle HOL. „Journal of Automated Reasoning”. 23 (3), s. 235–264, 1999. DOI: 10.1023/A:1006269330992. ISSN 0168-7433. MR1721912. 
  • Michael Meo. The mathematical life of Cauchy's group theorem. „Historia Math.”. 31 (2), s. 196–221, 2004. DOI: 10.1016/S0315-0860(03)00003-X. ISSN 0315-0860. MR2055642. 
  • Winfried Scharlau. Die Entdeckung der Sylow-Sätze. „Historia Math.”. 15 (1), s. 40–52, 1988. DOI: 10.1016/0315-0860(88)90048-1. ISSN 0315-0860. MR931678. (niem.). 
  • William C. Waterhouse. The early proofs of Sylow's theorem. „Archive for History of Exact Sciences”. 21 (3), s. 279–290, 1980. DOI: 10.1007/BF00327877. ISSN 0003-9519. MR575718. 
  • Helmut Wielandt. Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen. „Archiv der Mathematik”. 10 (1), s. 401–402, 1959. DOI: 10.1007/BF01240818. ISSN 0003-9268. MR0147529. (niem.). 

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Sylow Theorems, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-10].
  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Sylow theorems (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-10].