Wstęga Newtona

Fraktal Newtona dla z i + 1 = z i 3 − 1 {\displaystyle z_{i+1}=z_{i}^{3}-1}
Fraktal Newtona dla z³ – 1 = 0
Fraktal Newtona dla równania p ( z ) = z 5 − 1 {\displaystyle p(z)=z^{5}-1}

Wstęga Newtona (znany też jako fraktal Newtona albo basen Newtona) – zbiór Julii meromorficznej funkcji z ↦ z − p ( z ) p ′ ( z ) , {\displaystyle z\mapsto z-{\tfrac {p(z)}{p'(z)}},} która jest dana przez metodę Newtona, dla wielomianów p ( Z ) ∈ C [ Z ] . {\displaystyle p(Z)\in \mathbb {C} [Z].}

Fraktale Newtona otrzymuje się w następujący sposób: niech ζ 1 , ζ 2 , … , ζ n {\displaystyle \zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n}} będą pierwiastkami wielomianu p ( z ) , {\displaystyle p(z),} gdzie n = d e g ( p ) . {\displaystyle n=deg(p).} Każdemu z nich przypisujemy inny kolor, odpowiednio c 1 , c 2 , … , c n . {\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}.} Dodatkowo wybieramy jeszcze kolor c n + 1 . {\displaystyle c_{n+1}.}

Następnie wybieramy jakiś zbiór w {\displaystyle w} punktów na płaszczyźnie zespolonej i każdy rysujemy kolorem c(w), gdzie procedura wybierania c(w) jest następująca:

  1. z 0 = w ; z k + 1 = z k − p ( z k ) p ′ ( z k ) {\displaystyle z_{0}=w;z_{k+1}=z_{k}-{\frac {p(z_{k})}{p'(z_{k})}}} (dla k ⩾ 0 {\displaystyle k\geqslant 0} ),
  2. jeśli lim n − > ∞ z n = ζ k , {\displaystyle \lim _{n->\infty }{z_{n}}=\zeta _{k},} to c ( w ) = c k . {\displaystyle c(w)=c_{k}.} Jeśli nie istnieje takie ζ k {\displaystyle \zeta _{k}} (czyli metoda nie zbiega dla danego z 0 , {\displaystyle z_{0},} to c ( w ) = c n + 1 {\displaystyle c(w)=c_{n+1}} ).

Zobacz też

Zobacz galerię związaną z tematem: Wstęga Newtona