Wzór Bethego-Blocha

Wzór Bethego-Blocha, wzór Bethego – w fizyce, wyrażenie określające straty energii kinetycznej cząstki naładowanej przy przechodzeniu przez ośrodek materialny, spowodowane jonizacją atomów ośrodka. Wyprowadzony przez Hansa Bethego w roku 1930.

Wyrażenie matematyczne

Współcześnie wzór ten zapisywany jest w postaci^[1]

${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} x}}={\frac {4\pi N_{\mathrm {A} }Z\rho }{Am_{\mathrm {m} }m_{\mathrm {e} }c^{2}}}\left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)^{2}{\frac {z^{2}}{\beta ^{2}}}\left[{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {2m_{\mathrm {e} }c^{2}\beta ^{2}\ T_{\max }}{\left(1-\beta ^{2}\right)I^{2}}}\right)-\beta ^{2}-{\frac {\delta }{2}}\right],}$

gdzie:

${\displaystyle \mathrm {d} E/\mathrm {d} x}$ – strata energii cząstki na jednostkę przebytej odległości,

${\displaystyle N_{\mathrm {A} }}$ – liczba Avogadro,

${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle A}$ – liczba atomowa i liczba masowa atomów ośrodka,

${\displaystyle m_{\mathrm {m} }}$ – jednostka masy molowej ośrodka,

${\displaystyle \rho }$ – gęstość ośrodka,

${\displaystyle m_{\mathrm {e} }}$ – masa elektronu

${\displaystyle e}$ – ładunek elementarny,

${\displaystyle z}$ – ładunek cząstki w jednostkach ${\displaystyle e}$ (ładunek cząstki ${\displaystyle q=ze}$),

${\displaystyle \beta }$ – prędkość cząstki w jednostkach prędkości światła w próżni ${\displaystyle (\beta =v/c),}$

${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ – przenikalność elektryczna próżni,

${\displaystyle T_{\max }}$ – maksymalna energia kinetyczna, jaka może być przekazana elektronowi w pojedynczym zderzeniu (patrz poniżej),

${\displaystyle I}$ – średnia energia jonizacji, w elektronowoltach,

${\displaystyle \delta /2}$ – poprawka na gęstość pola, istotna przy wyższych energiach (patrz poniżej)

Maksymalna energia, która może być przekazana elektronowi w jednym zderzeniu, zależy od masy cząstki ${\displaystyle M}$ i jej prędkości w następujący sposób:

${\displaystyle T_{\max }={\frac {2m_{\mathrm {e} }c^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}}{1+2\gamma m_{\mathrm {e} }/M+(m_{\mathrm {e} }/M)^{2}}},}$

gdzie ${\displaystyle \gamma =1{\Big /}{\sqrt {(1-\beta ^{2})}}}$ jest czynnikiem relatywistycznym.

Poprawka ${\displaystyle \delta }$ wynika z faktu, że efekty elektrostatycznej polaryzacji ośrodka zmniejszają zasięg oddziaływania pola cząstki. Zasięg pola w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu rośnie relatywistycznie jak ${\displaystyle \ln \beta \gamma ,}$ dlatego znaczenie tej poprawki rośnie ze wzrostem energii (czynnika ${\displaystyle \gamma }$). Przy bardzo dużych energiach poprawka opisywana jest w przybliżeniu wzorem:

${\displaystyle {\frac {\delta }{2}}\approx \ln {\frac {\hbar \omega _{\mathrm {p} }}{I}}+\ln \beta \gamma -{\frac {1}{2}},}$

gdzie ${\displaystyle \omega _{\mathrm {p} }}$ jest częstością plazmową ośrodka, a ${\displaystyle \hbar }$ to tzw. h kreślone(stała Diraca).

Należy pamiętać, że wzór powyższy podaje średnią stratę energii. Całkowita strata energii na jonizację jest sumą przypadkowych strat w zderzeniach z pojedynczymi elektronami ośrodka. Proces utraty energii jest więc procesem stochastycznym, w którym utrata energii podlega fluktuacjom. Fluktuacje te są szczególnie istotne przy przechodzeniu przez cienkie warstwy materiału, bądź w mediach rozrzedzonych (np. w gazach). Zmienność rzeczywistych strat energii opisywana jest zwykle rozkładem Landaua.

Zależność jonizacji od prędkości

Dla powolnych cząstek dominujący jest czynnik ${\displaystyle 1/\beta ^{2}}$ przed nawiasem. Oznacza to, że straty energii maleją szybko z rosnącą prędkością cząstki.

Dla szybkich cząstek ${\displaystyle \beta ^{2}\approx 1}$ i dominujący staje się logarytmiczny wzrost z prędkością czynnika w nawiasie kwadratowym. Straty energii rosną więc powoli ze wzrostem prędkości (energii) cząstki.

Minimum funkcji opisywanej Wzorem Bethego leży w przybliżeniu przy ${\displaystyle \beta \gamma =3.}$ Cząstkę o prędkości spełniającej ten związek nazywamy cząstką minimalnej jonizacji. W praktyce, ponieważ wzrost jonizacji z prędkością jest bardzo powolny, mianem cząstek minimalnej jonizacji określa się często cząstki powyżej tej granicy, aż do energii, przy której istotne stają się radiacyjne straty energii (patrz poniżej).

Zakres stosowalności

Wzór Bethego-Blocha podaje z dobrą dokładnością (rzędu 1%) straty energii cząstek „umiarkowanie relatywistycznych”, o pędzie pomiędzy około 0,05 a 100 ${\displaystyle m_{0}c.}$ Dla cząstek bardzo powolnych konieczne staje się wprowadzenie poprawek związanych m.in. z faktem, że część elektronów jest znacznie silniej związana z jądrem, niż średni potencjał jonizacji. Dla bardzo wysokich energii istotne stają się poprawki radiacyjne. Wzór nie stosuje się do elektronów, które silnie tracą energię przez promieniowanie hamowania.

Nazwa

Powyższy wzór został wyprowadzony przez Hansa Bethego i powinien być poprawnie nazywany wzorem Bethego. Felix Bloch dostarczył następującego przybliżonego wyrażenia na średnią energię jonizacji I atomu ośrodka, użytą przez Bethego w opublikowanym przez niego wyrażeniu.

${\displaystyle I=(10\,\mathrm {eV} )\cdot Z.}$

Obecnie najczęściej przedstawia się wzór Bethego formie przedstawionej powyżej, używając tablicowych wartości I, zamiast przybliżenia Blocha. Mimo to nazwa wzór Bethego-Blocha utarła się na tyle, że jest nadal powszechnie używana.

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Program obrazujący przechodzenie promieniowania przez materię przy użyciu wzoru Bethego-Blocha