Złożony proces Poissona

Złożony proces Poissona – proces stochastyczny, w którym w losowych momentach czasu (zadanymi procesem Poissona) następuje zmiana o losową wartość, po czym do czasu następnej zmiany wartość procesu jest wielkością stałą^[1].

Definicja

Złożony proces Poissona ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geqslant 0}}$ zadany parametrem ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{+}}$ dla dowolnego ${\displaystyle t\geqslant 0}$ postać:

${\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{N_{t}}Y_{i},}$

gdzie:

• ${\displaystyle \{N_{t}\}_{t\geqslant 0}}$ jest procesem Poissona o parametrze ${\displaystyle \lambda ,}$
• ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},\dots }$ są niezależnymi zmiennymi o takich samym rozkładzie,
• zmienne ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},\dots }$ są również niezależne z danym procesem Poissona.

Własności

Jeżeli ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geqslant 0}}$ jest złożonym procesem Poissona, ma następujące własności:

• dla każdego ${\displaystyle \omega }$ funkcja ${\displaystyle t\mapsto X_{t}(\omega )}$ jest przedziałami stała i prawostronnie ciągła,
• wartość oczekiwana w chwili ${\displaystyle t}$ wynosi: ${\displaystyle EX_{t}=\lambda tEY_{1},}$
• wariancja w chwili ${\displaystyle t}$ wynosi: ${\displaystyle D^{2}X_{t}=\lambda tE(Y_{1}^{2}),}$
• funkcja charakterystyczna w chwili ${\displaystyle t}$ wynosi:

${\displaystyle \phi _{X_{t}}(u)=\exp \left(\lambda tE(e^{iuY_{1}}-1)\right).}$

Związek z procesem Lévy’ego

Złożony proces Poissona jest procesem Lévy’ego. Ponadto jeżeli proces Lévy’ego jest przedziałami stały, jest on złożonym procesem Poissona.

Przypisy