Função simples

Em matemática, sobretudo na teoria da medida, uma função simples é uma função mensurável que assume um conjunto finito de valores.

As funções simples são usadas como funções auxiliares na construção da integral de Lebesgue e na teoria de integração mais geral.

Definição

Seja ${\displaystyle \left(X,{\mathfrak {M}},\mu \right)}$ um espaço de medida, uma função ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ é dita simples se puder ser escrita na forma:

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\mathrm {X} _{E_{k}}(x)}$

onde ${\displaystyle E_{k}}$ são conjuntos mensuráveis e ${\displaystyle \mathrm {X} _{E_{k}}(x)}$ é a função indicadora de ${\displaystyle E_{k}}$ em X.

Propriedades

• A soma, multiplicação por uma constante, bem como o produto de funções simples é novamente uma função simples.
• Se ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ é uma função mensurável, então existe uma seqüência não-decrescente de funções simples ${\displaystyle f_{n}(x)}$ convergindo quase-sempre para ${\displaystyle f(x)}$

Ver também

O wikilivro Medida e integração/Funções simples e a topologia da reta estendida tem uma página intitulada Funções simples