Czworościan foremny

Czworościan foremny
Przykładowe siatki czworościanu foremnego
Kostka do gry w kształcie czworościanu (stosowana m.in. w grach fabularnych)
Siatka czworościanu foremnego z zakładkami umożliwiającymi sklejenie

Czworościan foremny a. tetraedr (z gr.)[1] – czworościan, którego ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi. Jeden z pięciu wielościanów foremnych. Ma 6 krawędzi i 4 wierzchołki. Czworościan foremny jest przykładem trójwymiarowego sympleksu. Czworościan foremny jest dualny do samego siebie. Kanoniczne współrzędne wierzchołków czworościanu mają postać (1, 1, 1), (−1, −1, 1), (−1, 1, −1) i (1, −1, −1).

Czworościan foremny może być wpisany w sześcian na dwa sposoby tak, aby każdy jego wierzchołek pokrywał się z jakimś wierzchołkiem sześcianu, a każda jego krawędź z przekątną jednej ze ścian sześcianu. Objętość każdego z tych czworościanów wynosi 1/3 objętości sześcianu. Suma mnogościowa tych dwóch czworościanów tworzy wielościan zwany stella octangula, a ich część wspólna tworzy ośmiościan foremny.

Czworościany foremne wraz z ośmiościanami foremnymi wystarczą do wypełnienia całej przestrzeni[a]. Ścinając wszystkie wierzchołki czworościanu w 1/3 długości krawędzi, uzyskujemy wielościan półforemny o nazwie czworościan ścięty.

Wzory i własności

W poniższych wzorach a {\displaystyle a} oznacza długość krawędzi czworościanu foremnego.

Pole powierzchni całkowitej:

S = 3   a 2 ≈ 1,732 1   a 2 . {\displaystyle S={\sqrt {3}}\ a^{2}\approx 1{,}7321\ a^{2}.}

Objętość:

V = 2 12   a 3 ≈ 0,117 9   a 3 . {\displaystyle V={\frac {\sqrt {2}}{12}}\ a^{3}\approx 0{,}1179\ a^{3}.}

Wysokość, czyli odległość od dowolnego wierzchołka do środka przeciwległej ściany:

h = a   24 6 = 6 3   a ≈ 0,816 5   a . {\displaystyle h=a\ {\frac {\sqrt {24}}{6}}={\frac {\sqrt {6}}{3}}\ a\approx 0{,}8165\ a.}

Miara kąta nachylenia krawędzi do ściany, w której krawędź się nie zawiera:

α = arcsin ⁡ 6 3 ≈ 54,735 6 ∘ . {\displaystyle \alpha =\arcsin {\frac {\sqrt {6}}{3}}\approx 54{,}7356^{\circ }.}

Promień kuli opisanej:

R = 6 4   a ≈ 0,612 4   a . {\displaystyle R={\frac {\sqrt {6}}{4}}\ a\approx 0{,}6124\ a.}

Promień kuli wpisanej:

r = 6 12   a ≈ 0,204 1   a . {\displaystyle r={\frac {\sqrt {6}}{12}}\ a\approx 0{,}2041\ a.}

Promień kuli stycznej do krawędzi czworościanu:

δ = 2 4   a ≈ 0,353 6   a . {\displaystyle \delta ={\frac {\sqrt {2}}{4}}\ a\approx 0{,}3536\ a.}

Zależności między promieniami R , r , δ {\displaystyle R,\;r,\;\delta }

R = 3 ⋅ r , R = 3 4 h , r = 1 4 h {\displaystyle R=3\cdot r,\;R={\tfrac {3}{4}}h,\;r={\tfrac {1}{4}}h} [b],
δ = R ⋅ r . {\displaystyle \delta ={\sqrt {R\cdot r}}.}

Miara kąta między ścianami:

β = arcsin ⁡ 8 3 ≈ 70 , 53 ∘ . {\displaystyle \beta =\arcsin {\frac {\sqrt {8}}{3}}\approx 70{,}53^{\circ }.}

Czworościan foremny ma:

  • 6 płaszczyzn symetrii, każda z nich przechodzi przez jedną z jego krawędzi i środek przeciwległej krawędzi,
  • 3 osie symetrii, każda z nich przechodzi przez środki przeciwległych krawędzi,
  • 4 osie obrotu, każda z nich przechodzi przez wierzchołek czworościanu i środek przeciwległej ściany.

Zobacz też

Zobacz multimedia związane z tematem: Czworościan foremny

Uwagi

  1. ↑ Arystoteles błędnie sądził, że wystarczą czworościany.
  2. ↑ Wzory te są 3-wymiarową kontynuacją wzorów dla trójkąta równobocznego, w których promień okręgu opisanego jest 2 / 3 {\displaystyle 2/3} jego wysokości a promień okręgu wpisanego jest 1 / 3 {\displaystyle 1/3} jego wysokości, patrz ogólna zależność dla sympleksów.

Przypisy

  1. ↑ tetraedr, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-02] .

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Tetrahedron, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].