Graf dwudzielny

Ten artykuł od 2011-04 zawiera treści, przy których brakuje odnośników do źródeł. Należy dodać przypisy do treści niemających odnośników do źródeł. Dodanie listy źródeł bibliograficznych jest problematyczne, ponieważ nie wiadomo, które treści one uźródławiają. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Graf dwudzielny – graf, którego zbiór wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne zbiory tak, że krawędzie nie łączą wierzchołków tego samego zbioru. Równoważnie: graf, który nie zawiera cykli nieparzystej długości. Jeśli pomiędzy wszystkimi parami wierzchołków należących do różnych zbiorów istnieje krawędź, graf taki nazywamy pełnym grafem dwudzielnym lub kliką dwudzielną i oznaczamy ${\displaystyle K_{n,m}}$ gdzie ${\displaystyle n}$ i ${\displaystyle m}$ oznaczają liczności zbiorów wierzchołków^[1].

Pojęcie można uogólnić na trzy (graf trójdzielny) i więcej zbiorów.

Definicja formalna

Grafem dwudzielnym nazywamy trójkę ${\displaystyle G(U,V,E)}$ gdzie:

${\displaystyle U=\{u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}\},}$

${\displaystyle V=\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{m}\}}$

oraz

${\displaystyle E\ \subseteq \ U\ \times \ V.}$

${\displaystyle U}$ i ${\displaystyle V}$ są zbiorami wierzchołków, ${\displaystyle E}$ to zbiór krawędzi.

Warunki wystarczające dla grafu hamiltonowskiego

Sformułowane zostało twierdzenie, które pozwala określić, czy graf dwudzielny jest grafem hamiltonowskim.

Treść twierdzenia

Niech ${\displaystyle G}$ będzie grafem dwudzielnym i niech:

${\displaystyle V(G)=V_{1}\cup V_{2}}$

będzie podziałem wierzchołków ${\displaystyle G.}$

Jeśli ${\displaystyle G}$ ma cykl Hamiltona, to:

${\displaystyle |V_{1}|=|V_{2}|.}$

Jeśli ${\displaystyle G}$ ma ścieżkę Hamiltona, to wartości ${\displaystyle |V_{1}|}$ i ${\displaystyle |V_{2}|}$ różnią się co najwyżej o 1.

Dla pełnych grafów dwudzielnych zachodzi też implikacja w lewo, tj. jeśli:

${\displaystyle |V_{1}|=|V_{2}|,}$

to ${\displaystyle G}$ ma cykl Hamiltona.

Jeśli ${\displaystyle |V_{1}|}$ i ${\displaystyle |V_{2}|}$ różnią się co najwyżej o 1, to ${\displaystyle G}$ ma ścieżkę Hamiltona.

Dowód

Niech ${\displaystyle n}$ oznacza ilość wierzchołków grafu ${\displaystyle G.}$

• Cykl Hamiltona możemy wyznaczyć, biorąc na przemian wierzchołki leżące w zbiorach ${\displaystyle V_{1}}$ i ${\displaystyle V_{2}.}$ Jeśli:

${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n},v_{1}}$

wyznacza drogę zamkniętą przechodzącą dokładnie raz przez każdy wierzchołek, to

${\displaystyle v_{1},v_{3},v_{5},\dots }$

muszą należeć do jednego ze zbiorów podziału, bez straty ogólności załóżmy, że należą one do ${\displaystyle V_{1}.}$ Ponieważ istnieje krawędź ${\displaystyle \{v_{n},v_{1}\},}$ liczba ${\displaystyle n}$ musi być parzysta, a więc wszystkie wierzchołki ${\displaystyle v_{2},v_{4},\dots ,v_{n}}$ należą do ${\displaystyle V_{2},}$ z czego wynika, że:

${\displaystyle |V_{1}|=|V_{2}|.}$

W przypadku ścieżki Hamiltona można zastosować podobne wyszukiwanie, zakończyć je na wierzchołku ${\displaystyle v_{n}.}$ W przypadku, gdy ${\displaystyle n}$ nie jest parzyste, jeden ze zbiorów ma jeden dodatkowy wierzchołek.

Załóżmy ${\displaystyle G}$ jest pełnym grafem dwudzielnym, tj.:

${\displaystyle G=K_{|V_{1}|,|v_{2}|}.}$

Jeżeli:

${\displaystyle |V_{1}|=|V_{2}|,}$

to dla każdego „przemiennego” indeksowania wierzchołków ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n},v_{1}}$ wyznacza cykl Hamiltona w ${\displaystyle G.}$ Gdy jeden z podziałów, np. ${\displaystyle V_{1}}$ jest mniejszy wystarczy wyjść z niego przez ${\displaystyle \{v_{|V_{1}|},v_{|V_{2}|}\}.}$

Sprawdzenie dwudzielności

Aby przekonać się, czy dany graf jest dwudzielny, wystarczy użyć algorytmu przeszukiwania grafu (BFS lub DFS) i kolorować wierzchołki (początkowo o kolorze neutralnym) na dwa kolory tak, aby przechodzony wierzchołek miał kolor przeciwny względem poprzednika. Jeśli natrafimy na dwa wierzchołki o tym samym kolorze połączone krawędzią, to graf nie jest dwudzielny. W przeciwnym wypadku graf jest dwudzielny, podział zbioru wierzchołków na rozłączne podzbiory wyznaczają ich kolory.

Zobacz też

• klasa grafów
• teoria grafów
• twierdzenie Bondy’ego-Chvátala
• twierdzenie Diraca (1952)
• twierdzenie o liczbie krawędzi
• twierdzenie Ore (1961)

Przypisy