Graf planarny

Graf planarny – graf, który można narysować na płaszczyźnie (i każdej powierzchni genusu 0) tak, by krzywe obrazujące krawędzie grafu nie przecinały się ze sobą. Odwzorowanie grafu planarnego na płaszczyznę o tej własności nazywane jest jego rysunkiem płaskim. Graf planarny o zbiorze wierzchołków i krawędzi zdefiniowanym poprzez rysunek płaski nazywany jest grafem płaskim^[1].

Kryterium Kuratowskiego

Dwa minimalne grafy, które nie są planarne, to K₅ i K_3,3. Twierdzenie Kuratowskiego (1930) mówi, że graf skończony jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podgrafu homeomorficznego z grafem K₅ ani z grafem K_3,3.

Twierdzenie Eulera

Dowolny rysunek płaski grafu planarnego wyznacza spójne obszary płaszczyzny zwane ścianami. Dokładnie jeden z tych obszarów, zwany ścianą zewnętrzną, jest nieograniczony.

Zgodnie z wzorem Eulera, jeżeli ${\displaystyle |V|\geqslant 3}$ oraz ${\displaystyle G}$ jest grafem spójnym i planarnym, to ${\displaystyle |V|+|S|-|E|=2,}$ gdzie ${\displaystyle V}$ – zbiór wierzchołków, ${\displaystyle E}$ – zbiór krawędzi, ${\displaystyle S}$ – zbiór ścian dowolnego rysunku płaskiego grafu ${\displaystyle G.}$

Wnioski ze wzoru Eulera

• Jeżeli G jest planarny i posiada ${\displaystyle k}$ składowych spójnych, to ${\displaystyle |V|+|S|-|E|=k+1.}$
• Jeżeli G jest planarny i ${\displaystyle |V|\geqslant 3,}$ to ${\displaystyle |E|\leqslant 3\cdot |V|-6.}$
• Jeżeli G jest planarny, to wierzchołek o najmniejszym stopniu jest stopnia co najwyżej 5.

Zgodnie z twierdzeniem o czterech barwach, graf planarny daje się zawsze pokolorować przy użyciu co najwyżej czterech kolorów.

Zobacz też

• domki i studnie

Przypisy