Grawitacyjna całka działania

Ten artykuł należy dopracować: od 2011-04 → zweryfikować treść i dodać przypisy, → napisać/poprawić definicję. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Równania ogólnej teorii względności są konsekwencją minimum funkcjonału (całka działania) ze względu na metrykę czasoprzestrzeni ${\displaystyle g_{\mu \nu }.}$ Funkcjonał ten ma postać

${\displaystyle S[g_{\mu \nu }]=\int d^{4}xeL,}$

gdzie ${\displaystyle e}$ związane jest z przejściem do krzywoliniowego układu współrzędnych

${\displaystyle e=\det[e_{\mu }^{a}]=(-\det[g_{\mu \nu }])^{\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle L}$ jest funkcją Lagrange’a, składającą się z dwóch części – grawitacyjnej – opisującej geometrię czasoprzestrzeni i funkcji Lagrange’a materii (wszystko co nie jest grawitacją)

${\displaystyle L=L_{g}+L_{m}.}$

Funkcja Lagrange’a grawitacji powinna zależeć jedynie od niezmienników opisujących geometrię czasoprzestrzeni. Takim niezmiennikiem jest skalar krzywizny R. Teoria Einsteina odpowiada najprostszej liniowej realizacji:

${\displaystyle L_{g}=-{\frac {1}{2\kappa }}(R-2\Lambda ).}$

Stałe ${\displaystyle \kappa }$ i ${\displaystyle \Lambda }$ są stałymi teorii. Stałą ${\displaystyle \kappa }$ definiuje się tak, by nastąpiła zgodność z teorią grawitacji Newtona. ${\displaystyle \Lambda }$ jest stałą kosmologiczną.

Wariacja całki działania

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta g^{\mu \nu }}}=0}$

względem tensora metrycznego ${\displaystyle (g^{\mu \nu })}$ daje równania Einsteina

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }=-\kappa T_{\mu \nu },}$

definiując tensor energii-pędu.

Zobacz też

• przestrzeń pseudoriemannowska
• zasada najmniejszego działania