Grupoid

Grupoid, rzadziej magma – zbiór ${\displaystyle G}$ z określonym na nim dowolnym działaniem dwuargumentowym^[1], czyli pewną funkcją

${\displaystyle \cdot \colon G\times G\to G}$^[2].

Zazwyczaj zamiast ${\displaystyle \cdot (x,y)}$ stosuje się notację multiplikatywną ${\displaystyle x\cdot y}$ lub po prostu ${\displaystyle xy,}$ rzadziej notację addytywną ${\displaystyle x+y.}$ Działanie opisywane notacją multiplikatywną nazywa się mnożeniem, a addytywną – dodawaniem. Notację i terminologię addytywną stosuje się zazwyczaj, gdy działanie grupoidu jest przemienne.

Grupoid jest algebrą ${\displaystyle {\mathcal {A}},}$ której sygnatura składa się z jednej operacji 2-arnej.

Podgrupoidy i zbiory generujące

Niepusty podzbiór ${\displaystyle P}$ grupoidu ${\displaystyle G}$ nazywany jest podgrupoidem grupoidu ${\displaystyle G,}$ jeśli z ${\displaystyle a\in P}$ i ${\displaystyle b\in P}$ wynika, że

${\displaystyle ab\in P.}$

Jeśli ${\displaystyle A}$ jest podzbiorem grupoidu ${\displaystyle G,}$ to część wspólna wszystkich podgrupoidów ${\displaystyle G}$ zawierających ${\displaystyle A}$ jest najmniejszym podgrupoidem grupoidu ${\displaystyle G}$ zawierającym zbiór ${\displaystyle A;}$ grupoid ten nazywany jest podgrupiodem grupoidu ${\displaystyle G}$ generowanym przez ${\displaystyle A}$ i oznaczany czasem przez symbol ${\displaystyle \langle A\rangle .}$ Na przykład w grupoidzie liczb naturalnych ${\displaystyle \mathbb {N} }$ z działaniem dodawania podgrupoid generowany przez {2} jest podgrupoidem liczb parzystych. W grupoidzie liczb naturalnych ${\displaystyle \mathbb {N} }$ z działaniem mnożenia podgrupoidem generowanym przez {2} jest podgrupoid potęg liczby 2 o wykładnikach całkowitych nieujemnych.

W grupoidzie liczb naturalnych ${\displaystyle \mathbb {N} }$ z działaniem dodawania zbiorem generującym ${\displaystyle \mathbb {N} }$ jest {1}. W grupoidzie liczb naturalnych ${\displaystyle \mathbb {N} }$ z działaniem mnożenia zbiorem generującym ${\displaystyle \mathbb {N} }$ jest zbiór liczb pierwszych. Wynika to z podstawowego twierdzenia arytmetyki.

Rząd grupoidu

Jeśli ${\displaystyle G}$ jest grupoidem, to moc ${\displaystyle |G|}$ zbioru ${\displaystyle G}$ nazywamy jego rzędem. Jeśli rząd grupoidu jest skończony, możemy jego działanie opisać za pomocą tablicy Cayleya. Grupoid ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ reszt z dzielenia przez 4 jest rzędu 4, bo ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ = {0, 1, 2, 3}. Grupoid przekształceń zbioru 2-elementowego (z działaniem składania przekształceń), też jest rzędu 4.

Elementy neutralne grupoidu

W grupoidzie ${\displaystyle G}$ element ${\displaystyle e}$ (${\displaystyle f}$) nazywamy lewostronnym (prawostronnym) elementem neutralnym, jeśli dla każdego ${\displaystyle x\in G}$ spełniona jest równość ${\displaystyle ex=x}$ (${\displaystyle xf=x}$). Jeśli grupoid ${\displaystyle G}$ zawiera zarówno lewostronny element neutralny ${\displaystyle e,}$ jak i prawostronny element neutralny ${\displaystyle f,}$ to ${\displaystyle e=f,}$ bo ${\displaystyle e=ef=f.}$ Taki element nazywamy albo obustronnym elementem neutralnym, albo po prostu elementem neutralnym. Dlatego w grupoidzie zachodzi jedna z czterech ewentualności:

1. grupoid nie zawiera ani prawostronnych ani lewostronnych elementów neutralnych,
2. grupoid zawiera przynajmniej jeden lewostronny element neutralny, a nie zawiera prawostronnego elementu neutralnego,
3. grupoid zawiera przynajmniej jeden prawostronny element neutralny, a nie zawiera lewostronnego elementu neutralnego,
4. grupoid zawiera obustronny element neutralny i nie zawiera żadnych innych lewostronnych bądź prawostronnych elementów neutralnych.

Ideały grupoidu

Jeśli ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ są podzbiorami grupoidu ${\displaystyle G,}$ to ich iloczynem ${\displaystyle AB}$ nazywamy zbiór wszystkich elementów postaci ${\displaystyle ab,}$ gdzie ${\displaystyle a\in A,b\in B.}$ Jeśli ${\displaystyle A=\{a\}(B=\{b\}),}$ to iloczyn ${\displaystyle AB}$ zapisujemy ${\displaystyle aB}$ (odpowiednio ${\displaystyle Ab}$).

Lewym (prawym) ideałem grupoidu ${\displaystyle G}$ nazywamy taki niepusty podzbiór ${\displaystyle A}$ zbioru ${\displaystyle G,}$ że ${\displaystyle GA\subseteq G}$ ${\displaystyle (AG\subseteq G).}$ Ideałem dwustronnym, albo po prostu ideałem grupoidu ${\displaystyle G}$ nazywamy podzbiór, który jest jednocześnie prawym i lewym. Jeżeli działanie w grupoidzie jest przemienne, to każdy jego ideał jest dwustronny. W grupoidzie liczb naturalnych ${\displaystyle \mathbb {N} }$ z działaniem mnożenia ideałami są sumy mnogościowe zbiorów wielokrotności poszczególnych liczb

Grupoid jest swoim ideałem dwustronnym. Grupoid ${\displaystyle G}$ nazywamy grupoidem prawostronnie pierwszym (lewostronnie pierwszym), jeśli ${\displaystyle G}$ jest swoim jedynym prawym (lewym) ideałem. Grupoid nazywamy grupoidem pierwszym, jeśli jest swoim jedynym ideałem dwustronnym. Grupa jest grupoidem pierwszym, zarówno lewostronnie, jak i prawostronnie.

Jeśli ${\displaystyle A}$ jest niepustym podzbiorem grupoidu ${\displaystyle G,}$ to część wspólna wszystkich ideałów (lewych, prawych lub obustronnych) zawierających ${\displaystyle A}$ nazywamy ideałem (odp. lewym, prawym lub obustronnym) generowanym przez ${\displaystyle A.}$

Homomorfizm grupoidów

Odwzorowanie ${\displaystyle \varphi \colon G\to H,}$ gdzie ${\displaystyle (G,\circ )}$ i ${\displaystyle (H,\cdot )}$ są grupoidami nazywamy homomorfizmem grupoidów, jeśli:

${\displaystyle \varphi (a\circ b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)}$

Jeśli homomorfizm grupoidów jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym, to jest nazywany izomorfizmem.

Przykłady

• grupa
• półgrupa
• monoid,
• quasi-grupa
• zbiór liczb naturalnych z działaniem potęgowania, tzn. ${\displaystyle (\mathbb {N} ,^{\wedge }),}$ gdzie ${\displaystyle ^{\wedge }(a,b)=a^{b}}$
• zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania
• zbiór liczb naturalnych z działaniem mnożenia.

Przypisy

Bibliografia

• A.H. Clifford, G.B. Preston: The algebraic theory of semigroups. American Mathematical Society, 1964.brak strony w książce
• A.G. Kurosz: Wykłady z algebry ogólnej (wyd. ros.). Wyd. 2. Nauka, 1973.brak strony w książce

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Groupoid, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Magma, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
• Magma (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].