Liczby podwójne

Ten artykuł dotyczy liczb. Zobacz też: liczba podwójna – kategoria gramatyczna.

Liczby podwójne – wyrażenia postaci ${\displaystyle a+b\jmath ,}$ gdzie ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \jmath \notin \mathbb {R} }$ oraz ${\displaystyle \jmath ^{2}=1.}$

Konstrukcja

Liczby podwójne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych, tj. ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ z następującymi dwoma działaniami:

${\displaystyle (a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d),}$

${\displaystyle (a,b)\otimes (c,d)=(ac+bd,ad+bc).}$

Para ${\displaystyle (1,0)}$ jest elementem neutralnym mnożenia ${\displaystyle \otimes }$ oraz ${\displaystyle (0,1)^{2}=(1,0).}$

Jest to więc pierścień przemienny z jedynką i z dzielnikami zera^[a]. Dzielniki zera mają postać ${\displaystyle (a,a)}$ lub ${\displaystyle (a,-a),}$ bowiem dla dowolnych ${\displaystyle x,y{:}}$

${\displaystyle (x,x)\otimes (y,-y)=(y,-y)\otimes (x,x)=(0,0).}$

Ponieważ ${\displaystyle (1,0)}$ i ${\displaystyle (0,1)}$ są niewspółmierne, więc analogicznie do liczb zespolonych otrzymać można następującą postać kanoniczną:

${\displaystyle (a,b)=(a,0)+(0,b)=a+b\jmath }$ gdzie ${\displaystyle \jmath =(0,1).}$

Dla liczby podwójnej niebędącej dzielnikiem zera, tj. ${\displaystyle c+d\jmath ,\quad c^{2}-d^{2}\neq 0}$ istnieje odwrotność:

${\displaystyle (c+d\jmath )^{-1}={\frac {1}{c+d\jmath }}={\frac {-c+d\jmath }{-c^{2}+d^{2}}}.}$

Pierścień liczb podwójnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia drugiego:

${\displaystyle a+b\jmath \ \leftrightarrow {\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}},}$

w szczególności

${\displaystyle \jmath \ \leftrightarrow {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Przykłady

• ${\displaystyle (12+7\jmath )+(36+43\jmath )=48+50\jmath }$
• ${\displaystyle (5+3\jmath )\cdot (6+4\jmath )=42+38\jmath }$

Zobacz też

• liczby dualne
• liczby zespolone

Uwagi

Linki zewnętrzne

• Double and dual numbers (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].