Macierz antysymetryczna

Macierz antysymetryczna (skośnie symetryczna) – macierz kwadratowa, której wyrazy położone symetrycznie względem głównej przekątnej są przeciwnych znaków; innymi słowy, macierz kwadratowa ${\displaystyle A=[a_{ij}]}$ jest antysymetryczna, gdy jej wyrazy spełniają warunek

${\displaystyle a_{ji}=-a_{ij},}$

to znaczy

${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=-A.}$

Z definicji wynika, że dla dowolnego ${\displaystyle i}$ zachodzi: ${\displaystyle a_{ii}=0,}$ o ile charakterystyka ciała elementów macierzy jest różna od 2.

Dla ciał charakterystyki 2 elementy głównej przekątnej mogą być niezerowe, te z zerowymi przekątnymi nazywane są wówczas macierzami alternującymi.

Uogólnieniem macierzy antysymetrycznej jest macierz antyhermitowska.

Własności

• Kombinacja liniowa macierzy antysymetrycznych oraz macierz odwrotna do odwracalnej macierzy antysymetrycznej są macierzami antysymetrycznymi; iloczyn macierzy antysymetrycznych na ogół nie jest antysymetryczny.
• Dla macierzy kwadratowej ${\displaystyle A}$ macierz ${\displaystyle A-A^{\mathrm {T} }}$ jest antysymetryczna; więcej, przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia ${\displaystyle n}$ rozkłada się na sumę prostą przestrzeni kwadratowych macierzy symetrycznych i antysymetrycznych: jeżeli ${\displaystyle A}$ jest dowolną macierzą kwadratową stopnia ${\displaystyle n,}$ to

  ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\left(A+A^{\mathrm {T} }\right)+{\tfrac {1}{2}}\left(A-A^{\mathrm {T} }\right),}$

przy czym pierwszy składnik jest macierzą symetryczną, a drugi – antysymetryczną.

• Wszystkie wartości własne antysymetrycznej macierzy rzeczywistej są urojone.
• Jeśli ${\displaystyle A}$ jest macierzą antysymetryczną stopnia ${\displaystyle n,}$ to jej wyznacznik jest równy

  ${\displaystyle \det A=\det A^{\mathrm {T} }=\det(-A)=(-1)^{n}\det A.}$

W szczególności, jeżeli ${\displaystyle n}$ jest nieparzyste, to ${\displaystyle \det A=0}$ (dla macierzy o wyrazach z ciała charakterystyki różnej od 2) – wynik ten znany jest jako twierdzenie Jacobiego (nazywany nazwiskiem Carla Jacobiego). Jeśli ${\displaystyle n}$ jest parzyste, to det ${\displaystyle A}$ można zapisać w postaci ${\displaystyle (\mathrm {Pf} \ A)^{2},}$ gdzie ${\displaystyle \mathrm {Pf} A}$ oznacza pfaffian macierzy ${\displaystyle A}$ – wynik znany jako twierdzenie Cayleya (o pfaffianie; udowodniony przez Arthura Cayleya i odkryty na nowo przez Thomasa Muira).

Przykłady

Macierzami antysymetrycznymi są:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}0&7&-2\\-7&0&-1\\2&1&0\end{bmatrix}}.}$

Pierwsza z tych macierzy jest jednocześnie antysymetryczna i symetryczna.

W ciele ${\displaystyle F_{2}}$ macierz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}}$

jest macierzą antysymetryczną, ale nie jest macierzą alternującą.

Zobacz też

• forma dwuliniowa
• macierz antyhermitowska
• macierz hermitowska
• macierz symetryczna