Macierz klatkowa

Macierz klatkowa – rozbiór macierzy na umieszczone obok siebie mniejsze macierze zwane klatkami. Macierz klatkowa powstaje po pogrupowaniu zarówno wierszy i kolumn tak, aby w każdej grupie były przylegające do siebie kolumny albo przylegające wiersze. Pojedynczą klatkę tworzą pola macierzy, dla których wszystkie wiersze należą do jednej grupy i wszystkie kolumny należą do jednej grupy.

Definicja formalna

Rozważmy macierze: ${\displaystyle A=[a_{ij}]_{i=1,\dots ,n \atop j=1,\dots ,n},B=[b_{ij}]_{i=1,\dots ,m \atop j=1,\dots ,m},C=[c_{ij}]_{i=1,\dots ,n \atop j=1,\dots ,m},D=[d_{ij}]_{i=1,\dots ,m \atop j=1,\dots ,n}.}$

Wówczas macierz ${\displaystyle E=[e_{ij}]_{i=1,\dots ,n+m \atop j=1,\dots ,n+m}}$ zdefiniowaną następująco:

${\displaystyle e_{ij}:={\begin{cases}{\begin{matrix}a_{ij},&i\leqslant n,&j\leqslant n,\\b_{i-n\;j-n},&i>n,&j>n,\\c_{i\;j-n},&i\leqslant n,&j>n,\\d_{i-n\;j},&i>n,&j\leqslant n\end{matrix}}\end{cases}}}$

nazywamy macierzą klatkową. Macierz ${\displaystyle E}$ można zapisać w postaci

${\displaystyle E:={\begin{bmatrix}A&C\\D&B\end{bmatrix}}.}$

Przykład

Macierz

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{bmatrix}}}$

może zostać podzielona na 4 klatki 2×2

${\displaystyle P_{11}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},P_{12}={\begin{bmatrix}2&2\\2&2\end{bmatrix}},P_{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},P_{22}={\begin{bmatrix}4&4\\4&4\end{bmatrix}}.}$

Podzieloną macierz możemy wówczas zapisać jako

${\displaystyle P_{\mathrm {podzielone} }={\begin{bmatrix}P_{11}&P_{12}\\P_{21}&P_{22}\end{bmatrix}}.}$

Macierz klatkowo-diagonalna

Macierz klatkowo-diagonalna jest macierzą klatkową składającą się z kwadratowych macierzy na przekątnej i zawierającą wyłącznie zera w pozostałych polach. Macierz klatkowo-diagonalna ${\displaystyle A}$ ma postać

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&0&\ldots &0\\0&A_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &A_{n}\end{bmatrix}},}$

gdzie ${\displaystyle A_{k}}$ jest macierzą kwadratową.

Mnożenie macierzy klatkowych

Jeśli rozmiary klatek (ich liczby kolumn i wierszy) w dwóch macierzach klatkowych pasują do siebie, to

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\ldots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\ldots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\ldots &A_{nm}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&\ldots &B_{1k}\\B_{21}&B_{22}&\ldots &B_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{m1}&B_{m2}&\ldots &B_{mk}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\ldots &C_{1k}\\C_{21}&C_{22}&\ldots &C_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\ldots &C_{nk}\end{bmatrix}},}$

gdzie ${\displaystyle C_{ij}=A_{i1}B_{1j}+A_{i2}B_{2j}+\ldots +A_{im}B_{mj}.}$ Pozwala to na indukcyjne dowodzenie twierdzeń i konstruowanie algorytmów rekursywnych, np. algorytm Strassena.

Wyznacznik macierzy klatkowych

Niech ${\displaystyle \mathbb {K} }$ będzie ciałem.

• Jeżeli macierz ${\displaystyle A\in M_{n\times n}(\mathbb {K} ),B\in M_{m\times m}(\mathbb {K} ),D\in M_{m\times n}(\mathbb {K} )}$ oraz ${\displaystyle \Theta }$ jest macierzą zerową typu ${\displaystyle n\times m}$ to:

  ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&\Theta \\D&B\end{bmatrix}}=\det(A)\det(B)}$ (dowód w przypisach^[1]).

• Jeżeli macierz ${\displaystyle A\in M_{m\times n}(\mathbb {K} ),C\in M_{m\times m}(\mathbb {K} ),D\in M_{n\times n}(\mathbb {K} )}$ oraz ${\displaystyle \Theta }$ jest macierzą zerową typu ${\displaystyle n\times m,}$ to:

  ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&C\\D&\Theta \end{bmatrix}}=(-1)^{mn}\det(C)\det(D).}$

Przypisy

Bibliografia

• Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976. Brak numerów stron w książce