Transfiguracja (elektrotechnika)

Ten artykuł dotyczy transfiguracji w elektrotechnice. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Transfiguracja (łac. transfiguratio przekształcenie) – przekształcenie elementów układu elektrycznego połączonych w gwiazdę w równoważny układ elementów połączonych w trójkąt jak też na odwrót. Warunkiem poprawnej transfiguracji jest niezmienność wartości napięć i natężeń prądu elektrycznego w pozostałej części obwodu, która nie podlega przekształceniu^[1].

Transfiguracja trójkąt-gwiazda

Czasami zachodzi potrzeba zastąpienia układu połączonego w trójkąt równoważnym układem połączonym w gwiazdę. Równoważność oznacza tutaj warunek niezmienności prądów i napięć w tej części obwodu, która nie podlega przekształceniu transfiguracji.

Można matematycznie udowodnić, że wartości zastępcze impedancji Z_i dla połączenia w gwiazdę przy danych wartościach połączenia w trójkąt (Z_ij) są wyrażone poniższymi wzorami (podkreślenie oznacza liczby zespolone):

${\displaystyle {\underline {Z_{1}}}={\frac {{\underline {Z_{12}}}\cdot {\underline {Z_{31}}}}{{\underline {Z_{12}}}+{\underline {Z_{23}}}+{\underline {Z_{31}}}}}}$

${\displaystyle {\underline {Z_{2}}}={\frac {{\underline {Z_{12}}}\cdot {\underline {Z_{23}}}}{{\underline {Z_{12}}}+{\underline {Z_{23}}}+{\underline {Z_{31}}}}}}$

${\displaystyle {\underline {Z_{3}}}={\frac {{\underline {Z_{23}}}\cdot {\underline {Z_{31}}}}{{\underline {Z_{12}}}+{\underline {Z_{23}}}+{\underline {Z_{31}}}}}}$

Dla układu całkowicie symetrycznego w którym ${\displaystyle Z_{ij}={\underline {Z_{12}}}={\underline {Z_{23}}}={\underline {Z_{31}}}}$ zachodzi:

${\displaystyle {\underline {Z_{i}}}={\frac {1}{3}}{\underline {Z_{ij}}}}$

Transfiguracja gwiazda-trójkąt

Dla oznaczeń użytych na rysunku można udowodnić, że wartości zastępcze dla połączenia w trójkąt przy danych wartościach połączenia w gwiazdę są wyrażone poniższymi wzorami:

${\displaystyle {\underline {Z_{12}}}={\underline {Z_{1}}}+{\underline {Z_{2}}}+{\frac {{\underline {Z_{1}}}\cdot {\underline {Z_{2}}}}{\underline {Z_{3}}}}}$

${\displaystyle {\underline {Z_{23}}}={\underline {Z_{2}}}+{\underline {Z_{3}}}+{\frac {{\underline {Z_{2}}}\cdot {\underline {Z_{3}}}}{\underline {Z_{1}}}}}$

${\displaystyle {\underline {Z_{31}}}={\underline {Z_{3}}}+{\underline {Z_{1}}}+{\frac {{\underline {Z_{3}}}\cdot {\underline {Z_{1}}}}{\underline {Z_{2}}}}}$

Dla układu całkowicie symetrycznego w którym ${\displaystyle Z_{i}={\underline {Z_{1}}}={\underline {Z_{2}}}={\underline {Z_{3}}}}$ zachodzi:

${\displaystyle {\underline {Z_{ij}}}=3{\underline {Z_{i}}}}$

Przypisy