Zastosowanie liczb zespolonych w analizie obwodów elektrycznych

Zastosowanie liczb zespolonych – umożliwia uproszczoną analizę obwodów elektrycznych prądu przemiennego. Możliwe jest to dzięki algebraizacji równań różniczkowo-całkowych poprzez odwzorowanie przebiegów prądu i napięcia w postaci funkcji symbolicznej. Stwarza to możliwość analizy obwodu prądu przemiennego z wykorzystaniem metod używanych podczas analizy obwodów prądu stałego, a więc metody potencjałów węzłowych, metody prądów oczkowych, twierdzenia Thevenina-Nortona itd.

Liczby zespolone mogą być wykorzystywane tylko do analizy obwodów liniowych, w których wszystkie źródła energii dostarczają sinusoidalnych prądów i napięć o tej samej częstotliwości. Innymi słowy, liczby zespolone nie mogą być wykorzystane do analizy przebiegów odkształconych.

Wersor rotacyjny

Funkcja symboliczna budowana jest przy użyciu wersora rotacyjnego ${\displaystyle e^{j\omega t}}$ oraz sprzężonego z nim wersora ${\displaystyle e^{-j\omega t}.}$ Moduł tego wersora równy jest jeden, zaś argument zależny jest od czasu. Obrazem wersora na płaszczyźnie liczb zespolonych jest wektor jednostkowy obracający się z prędkością kątową ω w kierunku matematycznie dodatnim, zaś w przypadku wersora sprzężonego – w kierunku matematycznie ujemnym.

Uwaga: W inżynierii elektrycznej jednostka urojona często oznaczana jest literą j zamiast rozpowszechnionej i, by uniknąć pomyłki z wartością chwilową natężenia prądu zmiennego, również oznaczaną przez małą literę i.

Funkcja symboliczna

Funkcja symboliczna wyrażana jest jako iloczyn liczby zespolonej ${\displaystyle A_{m}=|A_{m}|e^{j\alpha }}$ oraz opisanego powyżej wersora rotacyjnego. Można to zapisać jako:

${\displaystyle A(t)=|A_{m}|e^{j(\omega t+\alpha )}.}$

Obrazem funkcji symbolicznej na płaszczyźnie liczb zespolonych jest wektor o długości ${\displaystyle |A_{m}|}$ i kącie początkowym α, obracający się z prędkością kątową ω w kierunku matematycznie dodatnim.

Uproszczenie analizy obwodów elektrycznych prądu przemiennego, możliwe jest właśnie ze względu na wyjątkowe właściwości funkcji symbolicznej. Pochodna funkcji symbolicznej wyprzedza ją o kąt 90° a jej całka opóźnia się o kąt 90°. Operacje te więc można uprościć zastępując – niezbędne przy analizie obwodów prądu przemiennego – całkowanie na dzielenie poprzez czynnik ${\displaystyle j\omega }$ a różniczkowanie na mnożenie przez czynnik ${\displaystyle j\omega .}$

Odwzorowanie przebiegów prądu i napięcia w postaci funkcji symbolicznej

W łatwy sposób można uzasadnić słuszność odwzorowywania przebiegów prądu i napięcia pod postacią funkcji symbolicznej. Dla przykładowego przebiegu sinusoidalnego prądu na odbiorniku danego wzorem: ${\displaystyle i=|I_{m}|\sin(\omega t+\alpha )}$ zbudować można funkcję symboliczną ${\displaystyle I(t)=|I_{m}|e^{j(\omega t+\alpha )}.}$ Jeżeli funkcję symboliczną ${\displaystyle I(t)}$ oraz funkcję do niej sprzężoną przedstawi się w postaci trygonometrycznej:

${\displaystyle I(t)=|I_{m}|e^{j(\omega t+\alpha )}=|I_{m}|[\cos(\omega t+\alpha )+j\sin(\omega t+\alpha )]}$

oraz

${\displaystyle I^{*}(t)=|I_{m}|e^{-j(\omega t+\alpha )}=|I_{m}|[\cos(\omega t+\alpha )-j\sin(\omega t+\alpha )],}$

to po dodatkowych przekształceniach zauważyć można związek:

${\displaystyle {\frac {I(t)-I^{*}(t)}{2j}}=|I_{m}|\sin(\omega t+\alpha )=i.}$

Ponieważ z własności liczb zespolonych wynika, że

${\displaystyle {\frac {Z-Z^{*}}{2j}}={\frac {a+jb-(a-jb)}{2j}}={\frac {2jb}{2j}}=b=\operatorname {Im} \{Z\},}$

stąd:

${\displaystyle i=\operatorname {Im} \{I(t)\}.}$

I dla napięcia analogicznie:

${\displaystyle u=\operatorname {Im} \{U(t)\}.}$

Dodatkowym atutem takiego przyporządkowania jest fakt, że nie tylko możliwe jest odwzorowanie przebiegu prądu lub napięcia poprzez funkcję symboliczną, ale także odtworzenie przebiegu sinusoidalnego z funkcji symbolicznej.

Zespolone wartości skuteczne

W powyższych wzorach przykładowy przebieg ${\displaystyle i=|I_{m}|\sin(\omega t+\alpha )}$ zawierał czynnik ${\displaystyle I_{m},}$ który odpowiadał zespolonej wartości maksymalnej. Aby przejść z odwzorowania przebiegów sinusoidalnych promieniami wirującymi na odwzorowanie funkcji symbolicznych nieruchomymi wektorami (zatrzymanymi w chwili ${\displaystyle t=0}$) wprowadza się zespolone wartości skuteczne oznaczane poprzez ${\displaystyle U}$ oraz ${\displaystyle I,}$ gdzie:

${\displaystyle I={\frac {I_{m}}{\sqrt {2}}},}$

${\displaystyle U={\frac {U_{m}}{\sqrt {2}}}.}$

To właśnie wartości skuteczne zespolone używane są w ostatecznych obliczeniach z wykorzystaniem metod używanych podczas analizy obwodów prądu stałego – nawet ich oznaczenia sugerują brak powiązania obliczeń z dziedziną czasu.

Zobacz też

• liczby zespolone
• rozwiązanie obwodu elektrycznego