Transformacja naturalna

Transformacja naturalna – w teorii kategorii przekształcenie jednego funktora w drugi pełniące rolę homomorfizmu wyższego rzędu w kategorii funktorów.

Definicje

Jeżeli ${\displaystyle {\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}}$ są kategoriami, a ${\displaystyle F\colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}},}$ ${\displaystyle G\colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}}$ są parą równoległych funktorów kowariantnych, to transformacją naturalną z ${\displaystyle F}$ do ${\displaystyle G}$ nazywamy rodzinę ${\displaystyle \{\eta _{X}\}_{X\in {\mathfrak {A}}^{o}}}$ morfizmów ${\displaystyle \eta _{X}\colon F(X)\to G(X)}$ kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ indeksowaną obiektami ${\displaystyle X\in {\mathfrak {A}}^{o}\!=\mathrm {Ob} {\mathfrak {A}},}$ taką, że dla dowolnego morfizmu ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ w ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ następujący diagram komutuje:

tzn. ${\displaystyle \eta _{Y}F(f)=G(f)\eta _{X}}$^[1][2]. Transformację taką oznaczamy symbolem ${\displaystyle \eta \colon F\to G.}$ Morfizmy ${\displaystyle (\eta _{X})_{X\in {\mathfrak {A}}^{o}}}$ nazywamy komponentami transformacji naturalnej ${\displaystyle \eta .}$

Funktory ${\displaystyle F}$ i ${\displaystyle G}$ nazywamy naturalnie równoważnymi, gdy istnieje transformacja naturalna ${\displaystyle \{\eta _{X}\}_{X\in {\mathfrak {A}}^{o}}}$ morfizmów ${\displaystyle \eta _{X}\colon F(X)\to G(X)}$ taka, że dla każdego ${\displaystyle X\in {\mathfrak {A}}^{o}}$ morfizm ${\displaystyle \eta _{X}}$ jest izomorfizmem w kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {B}}.}$

Złożeniem transformacji naturalnych ${\displaystyle \eta \colon F\to G}$ i ${\displaystyle \theta \colon G\to H}$ jest transformacja naturalna ${\displaystyle \theta \eta \colon F\to H}$ określona jako rodzina złożeń ${\displaystyle \{\theta _{X}\eta _{X}\}_{X\in {\mathfrak {A}}^{o}}.}$

Analogicznie definiuje się transformacje naturalne multifunktorów, tzn. funktorów z produktu kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{1}\times \ldots \times {\mathfrak {A}}_{n}}$ do ${\displaystyle {\mathfrak {B}}.}$

Jeżeli ${\displaystyle F\colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}},}$ ${\displaystyle G\colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}}$ jest parą równoległych funktorów kontrawariantnych, to definiujemy transformacje naturalne z ${\displaystyle F}$ do ${\displaystyle G}$ traktując ${\displaystyle F}$ i ${\displaystyle G}$ jako funktory kowariantne z kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {A}}^{\mathrm {op} }}$ do ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$^[3].

Przykłady

Niech ${\displaystyle {\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}=\mathbf {Vect} }$ będzie kategorią przestrzeni liniowych ${\displaystyle V}$ nad ciałem ${\displaystyle \mathbb {R} }$ i przekształceń liniowych ${\displaystyle f\colon V_{1}\to V_{2}.}$ Przestrzeń sprzężona (dualna) ${\displaystyle V^{*}}$ jest określona jako przestrzeń wszystkich funkcjonałów liniowych ${\displaystyle f\colon V\to \mathbb {R} .}$ Przyporządkowując każdemu wektorowi ${\displaystyle u}$ przestrzeni ${\displaystyle V}$ funkcjonał ${\displaystyle \psi _{u}}$ na ${\displaystyle V^{*},}$ należący do ${\displaystyle V^{**}=(V^{*})^{*},}$ określony wzorem ${\displaystyle \psi _{u}(\varphi )=\varphi (u)}$ dla ${\displaystyle \varphi \in V^{*},}$ otrzymujemy kanoniczny monomorfizm liniowy ${\displaystyle \psi _{V}\colon V\to V^{**}}$^[4]. Rodzina ${\displaystyle \{\psi _{V}\}_{V\in \mathbf {Vect^{o}} }}$ jest transformacją naturalną funktora tożsamościowego ${\displaystyle \mathbf {Vect} \to \mathbf {Vect} }$ w funktor drugiej sprzężonej ${\displaystyle \mathbf {Vect} \to \mathbf {Vect} }$ określony przez przyporządkowanie obiektowe ${\displaystyle V\mapsto V^{**}.}$ Gdy ograniczymy się do podkategorii przestrzeni liniowych skończenie wymiarowych, otrzymujemy równoważność naturalną – tę, od której Eilenberg i MacLane zaczęli objaśnianie teorii kategorii.

Ogólniej, niech ${\displaystyle \mathbf {Vect} }$ oznacza kategorię przestrzeni wektorowych nad dowolnym ciałem ${\displaystyle K}$ i niech ${\displaystyle B}$ będzie ustalonym obiektem. Symbolem Hom(–, B) oznaczamy funktor kontrawariantny z ${\displaystyle \mathbf {Vect} }$ do ${\displaystyle \mathbf {Vect} }$ (zdefiniowany analogicznie do funktorów głównych kontrawariantnych), nadając zbiorom ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}$ zwykłą strukturę przestrzeni wektorowej. Złożenie tego funktora z samym sobą daje funktor kowariantny ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (-,B),B)}$ z ${\displaystyle \mathbf {Vect} }$ do ${\displaystyle \mathbf {Vect} .}$ Każdemu ${\displaystyle A\in \mathrm {Ob} \mathbf {Vect} }$ przyporządkowujemy kanoniczne przekształcenie liniowe ${\displaystyle \eta _{A}}$ z ${\displaystyle A}$ w ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (A,B),B),}$ którego szczególny przypadek omawialiśmy powyżej. Jest to transformacja naturalna funktora tożsamościowego na ${\displaystyle \mathbf {Vect} }$ w funktor ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (-,B),B)}$^[5].

Niech ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ oznacza grupę liczb całkowitych (obiekt wolny o jednym generatorze w kategorii ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ grup abelowych). Funktor kowariantny ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathbf {Z} ,-):\mathbf {Ab} \to \mathbf {Ab} }$ jest naturalnie równoważny funktorowi tożsamościowemu na ${\displaystyle \mathbf {Ab} ,}$ a komponentami tej transformacji naturalnej są homomorfizmy grup ${\displaystyle \eta _{A}\colon \mathrm {Hom} (\mathbf {Z} ,A)\to A}$ określone jako ${\displaystyle \eta _{A}(\varphi )=\varphi (1)}$ dla homomorfizmów ${\displaystyle \varphi \colon \mathbf {Z} \to A.}$

Ze znanych własności produktów tensorowych grup abelowych (a także przestrzeni liniowych i modułów nad pierścieniami) wynika równoważność naturalna funktorów trzech zmiennych ${\displaystyle \mathrm {Hom} (?_{1}\otimes ?_{2},?_{3})}$ i ${\displaystyle \mathrm {Hom} {\big (}?_{1},\mathrm {Hom} (?_{2},?_{3}){\big )},}$ gdzie ${\displaystyle ?_{1},?_{2},?_{3}}$ są symbolami tych zmiennych^[3].

Bifunktor mnożenia kartezjańskiego z ${\displaystyle \mathbf {Set} \times \mathbf {Set} }$ do ${\displaystyle \mathbf {Set} ,}$ który każdej parze obiektów ${\displaystyle X,Y}$ (zbiorów w ${\displaystyle \mathrm {Ob} \mathbf {Set} }$) przyporządkowuje zbiór ${\displaystyle \Phi (X,Y)=X\times Y,}$ a każdej parze morfizmów ${\displaystyle \alpha \colon X_{1}\to X_{2},}$ ${\displaystyle \beta \colon Y_{1}\to Y_{2}}$ przyporządkowuje odpowiadające im przekształcenie iloczynów kartezjańskich, jest naturalnie równoważny analogicznie zdefiniowanemu bifunktorowi ${\displaystyle \Psi (X,Y)=Y\times X.}$ Odpowiednią transformację naturalną wyznaczają bijekcje ${\displaystyle \eta _{X,Y}\colon X\times Y\to Y\times X}$ przyporządkowujące parze ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ parę ${\displaystyle \langle b,a\rangle .}$ Podobnie ustala się naturalną równoważność funktorów trzech zmiennych o przyporządkowaniu obiektowym A×(B×C) → (A×B)×C^[6].

Transformacją naturalną dla funktora ${\displaystyle \mathrm {List} \colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Mon} }$ z kategorii zbiorów do kategorii monoidów jest operacja ${\displaystyle \mathrm {rev} \colon \mathrm {List} \to \mathrm {List} ,}$ która – mając daną listę – odwraca jej elementy:

${\displaystyle [1,2,8,7]{\xrightarrow {\mathrm {rev} }}[7,8,2,1]}$

Dla zbioru ${\displaystyle A}$ komponent ${\displaystyle \mathrm {rev} _{A}\colon \mathrm {List} (A)\to \mathrm {List} (A)}$ jest funkcją odwracającą dowolną listę o elementach z ${\displaystyle A.}$

Przypisy

Bibliografia

• Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
• Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1971. ISBN 3-540-90036-5.
• Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 48.

Linki zewnętrzne

• Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii, skrypt dla studentów Wydziału MIM UW, [1]
• Teoria kategorii dla informatyków/Wykład 5: Funktory i transformacje naturalne. Ważniak MIMUW. [dostęp 2010-08-17].
• Functorial morphism (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].