Twierdzenie Tellegena

Twierdzenie Tellegena (zasada Tellegena) – jedno z najważniejszych twierdzeń teorii obwodów, stosowane do analizy dowolnych obwodów skupionych. Zostało po raz pierwszy sformułowane w 1952 roku przez holenderskiego elektrotechnika Bernarda Tellegena^[1].

Treść twierdzenia

czyli: ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{K}p_{k}=0,}$ gdzie K to liczba elementów skupionych, a ${\displaystyle p_{k}}$ to moc chwilowa pobierana przez k-ty element^[2].

Ze względu na tożsamość powyższego równania względem czasu ${\displaystyle t,}$ prawdziwa jest również zależność ${\displaystyle \bigwedge _{t}\sum \limits _{k=1}^{K}p_{k}=0.}$

Dowód^[3]

Niech prądy gałęziowe ${\displaystyle i_{m}}$ oraz napięcia gałęziowe ${\displaystyle u_{m}}$ spełniają kolejno pierwsze i drugie prawo Kirchhoffa, a ${\displaystyle v_{m}}$ to potencjały poszczególnych węzłów. Wówczas napięcie pomiędzy węzłami ${\displaystyle k}$ i ${\displaystyle l}$ jest określone zależnością

${\displaystyle u_{kl}=v_{k}-v_{l}.}$

Moc chwilową prądu ${\displaystyle i_{kl}}$ można opisać zależnością

${\displaystyle p_{kl}=i_{kl}u_{kl}=i_{kl}(v_{k}-v_{l})=i_{kl}v_{k}-i_{kl}v_{l}.}$

Wiedząc, że

${\displaystyle i_{kl}=-i_{lk},}$

otrzymujemy

${\displaystyle i_{kl}u_{kl}=i_{kl}v_{k}+i_{lk}v_{l}.}$

Analogicznie postępujemy dla wszystkich składników sumy ${\displaystyle \sum u_{m}i_{m}.}$

Grupujemy składniki postaci ${\displaystyle v_{k}\sum \limits _{j}i_{kj}.}$

Na podstawie I prawa Kirchhoffa

${\displaystyle \sum \limits _{j}i_{kj}=0,}$

a więc

${\displaystyle \sum u_{m}i_{m}=0,}$

czyli

${\displaystyle \sum p_{m}=0.}$

Można też wykazać, że spośród trzech twierdzeń – obu praw Kirchhoffa oraz twierdzenia Tellegena, każde z nich można wyprowadzić z dwóch pozostałych^[2].

Wnioski

Twierdzenie Tellegena stanowi zasadę zachowania mocy i energii w układach skupionych. W danej chwili suma mocy pobieranych przez elementy takiego układu jest równa mocy oddawanej przez pozostałe elementy. Zależność ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{K}p_{k}=0}$ można sprowadzić do zasady zachowania energii, całkując to wyrażenie w przedziale ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$^[2]

${\displaystyle \int \limits _{t_{1}}^{t_{0}}\sum \limits _{k=1}^{K}p_{k}dt=\sum \limits _{k=1}^{K}\int \limits _{t_{1}}^{t_{0}}p_{k}dt=0.}$

Zastosowanie

Twierdzenie Tellegena jest jednym z najogólniejszych twierdzeń w teorii obwodów. Może być stosowane do opisu jakichkolwiek obwodów zbudowanych z elementów skupionych^[3], tj. takich, których właściwości i zachowanie można opisać tylko funkcjami czasu^[2]. Po uogólnieniu może być również wykorzystywane w analizie topologicznej w innych niż elektronika dziedzinach nauki np. w chemii, fizyce czy biologii^[4].

Przypisy