Zbiór nigdziegęsty

Zbiór ${\displaystyle A}$ przestrzeni ${\displaystyle (X,\tau )}$ nazywa się zbiorem nigdziegęstym wtedy i tylko wtedy, gdy wnętrze domknięcia tego zbioru jest puste:

${\displaystyle \operatorname {int} \;\operatorname {cl} \;A=\emptyset .}$

Inaczej mówiąc zbiór ten nie jest gęsty w żadnym otwartym podzbiorze przestrzeni ${\displaystyle X.}$

Definicja formalna

Zbiór ${\displaystyle A\subseteq X}$ jest nigdziegęsty w ${\displaystyle X}$ wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym niepustym zbiorze otwartym ${\displaystyle U}$ można znaleźć niepusty podzbiór otwarty ${\displaystyle V,}$ rozłączny z ${\displaystyle A}$ (tj. ${\displaystyle V\subseteq U\setminus A}$).

Własności

• Rodzina ${\displaystyle \mathrm {NWD} (X)}$ wszystkich nigdziegęstych podzbiorów ${\displaystyle X}$ tworzy właściwy ideał podzbiorów ${\displaystyle X,}$ tzn.

jeśli ${\displaystyle A,B\in \mathrm {NWD} (X),}$ to ${\displaystyle A\cup B\in \mathrm {NWD} (X),}$ oraz

jeśli ${\displaystyle A\in \mathrm {NWD} (X)}$ i ${\displaystyle B\subseteq A,}$ to ${\displaystyle B\in \mathrm {NWD} (X),}$ oraz

${\displaystyle X\notin \mathrm {NWD} (X).}$

• Przeliczalna suma zbiorów nigdziegęstych nie musi być nigdziegęsta: liczby wymierne są przeliczalną sumą jednoelementowych nigdziegęstych podzbiorów prostej rzeczywistej, a tworzą one gęsty podzbiór prostej.
• Jeśli ${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X}$ i ${\displaystyle A}$ jest nigdziegęsty w ${\displaystyle Y}$ (tzn. ${\displaystyle A\in \mathrm {NWD} (Y)}$ gdy ${\displaystyle Y}$ jest wyposażone w topologię podprzestrzeni), to ${\displaystyle A\in \mathrm {NWD} (X).}$
• Załóżmy, że ${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X}$ oraz albo ${\displaystyle Y}$ jest gęstym podzbiorem ${\displaystyle X}$ lub ${\displaystyle Y}$ jest otwarty w ${\displaystyle X.}$ Wówczas ${\displaystyle A\in \mathrm {NWD} (X)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle A\in \mathrm {NWD} (Y).}$

Przykłady

• Każdy skończony podzbiór prostej jest nigdziegęsty.
• Klasyczny zbiór Cantora jest nigdziegęstym podzbiorem prostej rzeczywistej. Każdy podzbiór prostej który jest homeomorficzny ze zbiorem Cantora jest nigdziegęsty (w ${\displaystyle \mathbb {R} }$).
• Istnieją nigdziegęste domknięte podzbiory ${\displaystyle \mathbb {R} }$ które mają dodatnią miarę Lebesgue’a, np. zbiór Cantora otrzymany przez wyrzucanie na kroku ${\displaystyle n}$ odcinków długości ${\displaystyle 5^{-n}.}$

Uogólnienia

s₀-zbiory

Motywowany przez charakteryzację podaną w lemacie, polski matematyk Edward Marczewski wprowadził w 1935 pojęcie ${\displaystyle (s_{0})}$-zbiorów.

Powiemy, że podzbiór ${\displaystyle A}$ prostej rzeczywistej ${\displaystyle \mathbb {R} }$ jest ${\displaystyle (s_{0})}$-zbiorem Marczewskiego, jeśli dla każdego doskonałego zbioru ${\displaystyle P\subseteq \mathbb {R} }$ można znaleźć jego doskonały podzbiór rozłączny z ${\displaystyle A.}$

Zbiory ${\displaystyle (s_{0})}$ tworzą ${\displaystyle \sigma }$-ideał podzbiorów ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Zbiory A-nigdziegęste

W drugiej połowie XX w. wprowadzono wspólne uogólnienie pojęcia zbiorów ${\displaystyle (s_{0})}$ i zbiorów nigdziegęstych. Schemat tego uogólnienia może być przedstawiony w sposób następujący.

Niech ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ będzie pewną rodziną niepustych podzbiorów przestrzeni ${\displaystyle X.}$ Powiemy, że zbiór ${\displaystyle A\subseteq X}$ jest ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-nigdziegęsty jeśli każdy element ${\displaystyle U\in {\mathcal {A}}}$ zawiera podzbiór ${\displaystyle V\in {\mathcal {A}}}$ rozłączny z ${\displaystyle A.}$

Jeśli ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ jest rodziną niepustych otwartych podzbiorów ${\displaystyle X,}$ to powyższa definicja określa nigdziegęste podzbiory ${\displaystyle X.}$ Jeżeli ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ jest rodziną zbiorów doskonałych, zaś ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,}$ to otrzymujemy z kolei ${\displaystyle (s_{0})}$-zbiory Marczewskiego.

W literaturze matematycznej można spotkać też inne przykłady rodzin ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ używanych w tym kontekście, niektóre z tych rodzin są związane z forsingami drzewiastymi.

Zobacz też

• ideał w teorii mnogości
• zbiory Marczewskiego
• zbiór pierwszej kategorii