Medida de Haar
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Em análise matemática, a medida de Haar é uma forma de atribuir um volume invariante para subconjuntos de grupos localmente compactos e em seguida definir uma integral para funções nestes grupos.
Esta medida foi criada pelo matemático húngaro Alfréd Haar em 1932. A medida de Haar é utilizada em diversas partes da análise matemática, teoria dos números e teoria da estimativa.
Definição
Suponha que G seja um grupo topológico localmente compacto. Para esta definição, a σ-álgebra gerada por todos subconjuntos compactos de G será chamada de álgebra de Borel.
Se a é um elemento de G e S é um subconjunto de G, então nós definimos as translações para esquerda e para direita de S da seguinte forma:
- Translação a esquerda
- ;
- Translação a direita
- .
Uma medida μ nos subconjuntos de Borel de G é chamado de translação-esquerda-invariante se e somente se para todos subconjuntos de Borel S de G e todos a em G existe
Uma definição similar é feita para a translação à direita invariante.
Existência e unicidade da medida de Haar esquerda
Acontece que existe, salvo um multiplicador constante positivo, apenas uma translação esquerda invariante adição sigma da medida regular μ no subconjunto de Borel G tal que para qualquer conjunto de Borel aberto e não vazio U. De forma que uma medida seja chamada de medida de Haar esquerda. Segundo Paul Halmos[1] μ será regular se e somente se
- é finito para todo conjunto compacto K;
- Todo conjunto de Borel E é exteriormente regular;
- :
- Todo conjunto de Borel R é internamente regular.
- :
A existência da medida de Haar foi pela primeira vez comprada por André Weil.[2] O caso especial para medidas invariantes em grupos compactos fora demonstrada em 1933 por Haar.[3]
A integral de Haar
Utilizando a teoria geral da integral de Lebesgue, pode-se definir uma integral para toda função de medida de Borel f em G. Esta integral é chamada de Integral de Haar.
Definição
Se μ é a medida esquerda de Haar, então
para qualquer função integrável f. Isto é obtido imediatamente pelas funções escalonadas, sendo essencialmente a definição da variante esquerda.
Ver também
Referências
- ↑ Paul Halmos (1950). Measure Theory (em inglês). [S.l.]: D. van Nostrand and Co. A referência emprega parâmetros obsoletos
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(ajuda) - ↑ André Weil (1940). L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications, Actualités Scientifiques et Industrielles (em francês). [S.l.]: Hermann A referência emprega parâmetros obsoletos
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(ajuda) - ↑ Alfréd Haar (1933). Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen (em alemão). [S.l.]: Ann. Math. A referência emprega parâmetros obsoletos
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(ajuda)
Bibliografia
- Lynn Loomis (1953). An Introduction to Abstract Harmonic Analysis (em inglês). [S.l.]: D. van Nostrand and Co. A referência emprega parâmetros obsoletos
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(ajuda) - André Weil (1971). Basic Number Theory (em inglês). [S.l.]: Academic Press A referência emprega parâmetros obsoletos
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(ajuda)
Ligações externas
- «Grupos Topológicos e aplicações à Medida de Haar» (PDF)
- «On the Existence and Uniqueness of Invariant Measures on Locally Compact Groups» (PDF) (em inglês). - por Simon Rubinstein-Salzedo
- Portal da matemática