Ciało skończone

Sprzątanie Wikipedii
 Ten artykuł należy dopracować:
więcej treści jest podane w przypisach, niż poza nimi.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Ciało skończone lub ciało Galois – ciało skończonego rzędu, tj. o skończonej liczbie elementów; druga z nazw pochodzi od nazwiska Évariste’a Galois, który znacząco przyczynił się do rozwoju badań nad ciałami skończonymi (zob. Rys historyczny).

Galois wskazał ich zastosowanie w tzw. teorii Galois dającej m.in. definitywną odpowiedź na pytania o rozstrzygnięcie możliwości wykonania klasycznych konstrukcji w geometrii euklidesowej czy też zgrabnie uzasadniającej brak ogólnych wzorów na pierwiastki wielomianów wyższych stopni.

W artykule za naturalne uważa się dodatnie liczby całkowite, ciało proste o p {\displaystyle p} elementach (tzn. rzędu p , {\displaystyle p,} gdzie p {\displaystyle p} jest liczbą pierwszą) oznaczane będzie zamiennie jednym z symboli F p {\displaystyle \mathbf {F} _{p}} oraz Z / ( p ) ; {\displaystyle \mathbb {Z} /(p);} inną stosowaną notacją jest G F ( p ) {\displaystyle \mathrm {GF} (p)} (od ang. Galois field, ciało Galois).

Konstrukcja i własności

 Zobacz też: wielomian i pierścień wielomianów.

Niech p {\displaystyle p} będzie liczbą pierwszą, a π {\displaystyle \pi } będzie unormowanym (monicznym) wielomianem nierozkładalnym stopnia n {\displaystyle n} należącym do F p [ x ] {\displaystyle \mathbf {F} _{p}[x]} (tj. zmiennej x {\displaystyle x} o współczynnikach z ciała F p {\displaystyle \mathbf {F} _{p}} ). Pierścień F p [ x ] / ( π ) {\displaystyle \mathbf {F} _{p}[x]/(\pi )} (pierścień ilorazowy F p [ x ] {\displaystyle \mathbf {F} _{p}[x]} przez ideał główny generowany przez π , {\displaystyle \pi ,} który jest ideałem maksymalnym, co wynika z nierozkładalności i unormowania π {\displaystyle \pi } ) jest wtedy ciałem (reszt) rzędu p n {\displaystyle p^{n}} [a]. Każde ciało skończone ma rząd wyrażający się naturalną potęgą liczby pierwszej[b], a ponadto jest izomorficzne z F p [ x ] / ( π ) {\displaystyle \mathbf {F} _{p}[x]/(\pi )} dla pewnej liczby pierwszej p {\displaystyle p} i unormowanego wielomianu nierozkładalnego π {\displaystyle \pi } należącego do F p [ x ] {\displaystyle \mathbf {F} _{p}[x]} (grupa multiplikatywna ciał skończonych jest cykliczna[c])[d][e].

Dowolne ciało skończone można opisać jako ciało rozkładu wielomianu wyłącznie w zależności od rzędu ciała: ciało skończone o rzędzie p n {\displaystyle p^{n}} będącym potęgą liczby pierwszej jest ciałem rozkładu wielomianu x p n − x {\displaystyle x^{p^{n}}-x} nad ciałem F p {\displaystyle \mathbf {F} _{p}} [f]; wynika stąd, że ciała skończone tego samego rzędu są izomorficzne[g][h]. Wychodząc stąd, można dowieść istnienia ciał skończonych dowolnego rzędu będącego potęgą liczby pierwszej[i]. Dla dowolnej liczby pierwszej p {\displaystyle p} i naturalnej liczby n {\displaystyle n} istnieje unormowany wielomian nierozkładalny stopnia n {\displaystyle n} należący do F p [ x ] {\displaystyle \mathbf {F} _{p}[x]} [j]. Podciała F p n {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}} są rzędu p d , {\displaystyle p^{d},} gdzie d | n , {\displaystyle d|n,} przy czym istnieje jedno i tylko jedno takie ciało dla każdego d {\displaystyle d} [k].

Zbiór pierwiastków wielomianu x p n − x {\displaystyle x^{p^{n}}-x} zawiera wszystkie elementy F p n , {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}},} zatem ciało to jest ciałem rozkładu tego wielomianu rozdzielczego nad ciałem F p . {\displaystyle \mathbf {F} _{p}.} Stąd ciało F p n / F p {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}/\mathbf {F} _{p}} jest rozszerzeniem Galois – zasadniczą cechą ciał skończonych jest to, iż grupa Galois G a l ( F p n / F p ) {\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbf {F} _{p^{n}}/\mathbf {F} _{p})} jest cykliczna i ma kanoniczny generator w postaci endomorfizmu Frobeniusa φ p : t ↦ t p {\displaystyle \varphi _{p}\colon t\mapsto t^{p}} [l]. Jeśli π ∈ F q [ x ] {\displaystyle \pi \in \mathbf {F} _{q}[x]} jest wielomianem nierozkładalnym stopnia d {\displaystyle d} i ma pierwiastek α {\displaystyle \alpha } w pewnym rozszerzeniu ciała F q , {\displaystyle \mathbf {F} _{q},} to jego pierwiastki tworzą zbiór złożony z elementów α , α p , α p 2 , … , α p d − 1 {\displaystyle \alpha ,\alpha ^{p},\alpha ^{p^{2}},\dots ,\alpha ^{p^{d-1}}} [m].

Powyższe twierdzenia można uogólnić, zastępując ciało F p {\displaystyle \mathbf {F} _{p}} rzędu wyrażającego się pewną liczbą pierwszą p {\displaystyle p} ogólnym ciałem F q {\displaystyle \mathbf {F} _{q}} rzędu q = p n , {\displaystyle q=p^{n},} wykorzystując obserwację, iż dla każdego a ∈ F q {\displaystyle a\in \mathbf {F} _{q}} zachodzi a q = a , {\displaystyle a^{q}=a,} zatem rolę endomorfizmu Frobeniusa x ↦ x p {\displaystyle x\mapsto x^{p}} dla skończonych rozszerzeń F p {\displaystyle \mathbf {F} _{p}} przejmuje odwzorowanie x ↦ x q {\displaystyle x\mapsto x^{q}} dla skończonych rozszerzeń F q {\displaystyle \mathbf {F} _{q}} [n].

Ciała skończone nie są algebraicznie domknięte[o] (dla każdego jednak ciała istnieje ciało algebraicznie domknięte je zawierające). Twierdzenie Wedderburna mówi, że każdy skończony pierścień całkowity (w szczególności: pierścień z dzieleniem) jest przemienny, a więc jest ciałem (skończonym); teza zachodzi również dla pierścieni alternatywnych, czyli przy zrezygnowaniu z założenia łączności pierścienia na rzecz jego alternatywności, o czym mówi twierdzenie Artina-Zorna.

Przykłady

Pierścień Z / 7 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /7\mathbb {Z} } tworzy ciało 7-elementowe; jego elementami są ideały 0 Z , … , 6 Z {\displaystyle 0\mathbb {Z} ,\dots ,6\mathbb {Z} } z naturalnie określonymi działaniami (zob. pierścień ilorazowy). Innym ciałem 7-elementowym jest pierścień Z 7 {\displaystyle \mathbb {Z} _{7}} o elementach 0 , … , 6 {\displaystyle 0,\dots ,6} z działaniami arytmetyki modularnej; ciało to ma tę postać, co Z 7 [ x ] / ( x ) = F 7 [ x ] / ( x ) . {\displaystyle \mathbb {Z} _{7}[x]/(x)=\mathbf {F} _{7}[x]/(x).} W gruncie rzeczy wszystkie ciała o 7 elementach mają tę samą strukturę. Pierścień Z 4 {\displaystyle \mathbb {Z} _{4}} nie jest ciałem, ponieważ ma on (właściwy) dzielnik zera 2; skoro 2 ⋅ 2 = 0 , {\displaystyle 2\cdot 2=0,} to 2 jest niezerowym elementem nieodwracalnym[p] (a więc przeczy definicji ciała, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny). Tabliczki działań dodawania i mnożenia w jedynym (z dokładnością do izomorfizmu) 4-elementowym ciele F 2 [ x ] / ( x 2 + x + 1 ) {\displaystyle \mathbf {F} _{2}[x]/(x^{2}+x+1)} (wielomian x 2 + x + 1 {\displaystyle x^{2}+x+1} jest jedynym nierozkładalnym wielomianem drugiego stopnia nad F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}} ) przedstawiono niżej:

+ 0 1 x x + 1 0 0 1 x x + 1 1 1 0 x + 1 x x x x + 1 0 1 x + 1 x + 1 x 1 0 ⋅ 0 1 x x + 1 0 0 0 0 0 1 0 1 x x + 1 x 0 x x + 1 1 x + 1 0 x + 1 1 x {\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}+&0&1&x&x+1\\\hline 0&0&1&x&x+1\\1&1&0&x+1&x\\x&x&x+1&0&1\\x+1&x+1&x&1&0\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|cccc}\cdot &0&1&x&x+1\\\hline 0&0&0&0&0\\1&0&1&x&x+1\\x&0&x&x+1&1\\x+1&0&x+1&1&x\end{array}}}

Odpowiednio 8- i 9-elementowe pierścienie Z / 2 3 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /2^{3}\mathbb {Z} } i Z / 3 2 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /3^{2}\mathbb {Z} } nie są poprawnymi konstrukcjami ciał – pierścień Z / m Z {\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } jest ciałem wyłącznie wtedy, gdy m {\displaystyle m} jest liczbą pierwszą – niemniej ciała skończone tych rzędów istnieją: ciałami rzędu 8 są np. F 2 [ x ] / ( x 3 + x + 1 ) {\displaystyle \mathbf {F} _{2}[x]/(x^{3}+x+1)} oraz F 2 [ x ] / ( x 3 + x 2 + 1 ) , {\displaystyle \mathbf {F} _{2}[x]/(x^{3}+x^{2}+1),} a przykładami ciał rzędu 9 są np. F 3 [ x ] / ( x 2 + 1 ) , {\displaystyle \mathbf {F} _{3}[x]/(x^{2}+1),} bądź F 3 [ x ] / ( x 2 + x + 2 ) {\displaystyle \mathbf {F} _{3}[x]/(x^{2}+x+2)} albo F 3 [ x ] / ( x 2 + 2 x + 2 ) {\displaystyle \mathbf {F} _{3}[x]/(x^{2}+2x+2)} – są to wszystkie ciała postaci F p [ x ] / ( π ) {\displaystyle \mathbf {F} _{p}[x]/(\pi )} dla unormowanego wielomianu π ∈ F p [ x ] {\displaystyle \pi \in \mathbf {F} _{p}[x]} dla p = 3 {\displaystyle p=3} i n = deg ⁡ π = 2 , {\displaystyle n=\deg \pi =2,} czyli rzędu p n = 9 ; {\displaystyle p^{n}=9;} innym ciałem rzędu 9 jest Z [ i ] / ( 3 ) , {\displaystyle \mathbb {Z} [i]/(3),} które jest izomorficzne z F 3 [ x ] / ( x 2 + 1 ) , {\displaystyle \mathbf {F} _{3}[x]/(x^{2}+1),} a nawet wszystkimi innymi ciałami rzędu 9. Wielomian x 3 − 2 {\displaystyle x^{3}-2} jest nierozkładalny w F 7 [ x ] , {\displaystyle \mathbf {F} _{7}[x],} zatem F 7 [ x ] / ( x 3 − 2 ) {\displaystyle \mathbf {F} _{7}[x]/(x^{3}-2)} jest ciałem rzędu 7 3 = 343. {\displaystyle 7^{3}=343.}

Zbiór niezerowych elementów ciała F 3 [ x ] / ( x 2 + 1 ) {\displaystyle \mathbf {F} _{3}[x]/(x^{2}+1)} tworzy grupę (cykliczną) rzędu 8; element x {\displaystyle x} nie generuje tej grupy – jego kolejnymi potęgami są x ,   x 2 = − 1 = 2 ,   x 3 = 2 x ,   x 4 = 2 x 2 = − 2 = 1 , {\displaystyle x,\ x^{2}=-1=2,\ x^{3}=2x,\ x^{4}=2x^{2}=-2=1,} jednakże element x + 1 {\displaystyle x+1} jest jej generatorem – jego kolejne potęgi to x + 1 ,   2 x ,   2 x + 1 ,   2 ,   2 x + 2 ,   x ,   x + 2 ,   1 {\displaystyle x+1,\ 2x,\ 2x+1,\ 2,\ 2x+2,\ x,\ x+2,\ 1} (w pozostałych ciałach rzędu 9 w „modelu wielomianowym”, generatorem grupy multiplikatywnej jest x {\displaystyle x} ).

Wielomian T 3 + T 2 + 1 {\displaystyle T^{3}+T^{2}+1} jest nierozkładalny w F 2 [ x ] ; {\displaystyle \mathbf {F} _{2}[x];} jednym z jego pierwiastków w ciele F = F 2 [ x ] / ( x 3 + x 2 + 1 ) {\displaystyle F=\mathbf {F} _{2}[x]/(x^{3}+x^{2}+1)} jest element x , {\displaystyle x,} dwoma pozostałymi są x 2 ,   x 4 . {\displaystyle x^{2},\ x^{4}.} Ponieważ x 3 + x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{3}+x^{2}+1=0} w F , {\displaystyle F,} to x 3 = x 2 + 1 {\displaystyle x^{3}=x^{2}+1} (gdyż − 1 = 1 {\displaystyle -1=1} ), zatem x 4 = x 3 + x = ( x 2 + 1 ) + x = x 2 + x + 1 , {\displaystyle x^{4}=x^{3}+x=(x^{2}+1)+x=x^{2}+x+1,} skąd wynika, że pierwiastki T 3 + T 2 + 1 = 0 {\displaystyle T^{3}+T^{2}+1=0} w F {\displaystyle F} można zapisać jako x ,   x 2 ,   x 2 + x + 1. {\displaystyle x,\ x^{2},\ x^{2}+x+1.} Element x + 1 {\displaystyle x+1} jest jednym z pierwiastków T 3 + T + 1 {\displaystyle T^{3}+T+1} w F ; {\displaystyle F;} dwoma pozostałymi są ( x + 1 ) 2 = x 2 + 1 {\displaystyle (x+1)^{2}=x^{2}+1} oraz ( x + 1 ) 4 = ( x 2 + 1 ) 2 = x 4 + 1 = ( x 2 + x + 1 ) + 1 = x 2 + x . {\displaystyle (x+1)^{4}=(x^{2}+1)^{2}=x^{4}+1=(x^{2}+x+1)+1=x^{2}+x.}

Element x 2 + x + 2 {\displaystyle x^{2}+x+2} ciała F 7 [ x ] / ( x 3 − 2 ) {\displaystyle \mathbf {F} _{7}[x]/(x^{3}-2)} ma wielomian minimalny T 3 + T 2 + 6 T + 5 {\displaystyle T^{3}+T^{2}+6T+5} nad F 7 . {\displaystyle \mathbf {F} _{7}.} Pozostałymi dwoma pierwiastkami tego wielomianu są nad ( x 2 + x + 2 ) 7 {\displaystyle (x^{2}+x+2)^{7}} oraz ( x 2 + x + 2 ) 49 ; {\displaystyle (x^{2}+x+2)^{49};} potęgi tych elementów można zredukować, korzystając z tożsamości x 3 = 2 , {\displaystyle x^{3}=2,} mianowicie: ( x 2 + x + 2 ) 7 = 2 x 2 + 4 x + 2 {\displaystyle (x^{2}+x+2)^{7}=2x^{2}+4x+2} oraz ( x 2 + x + 2 ) 49 = 4 x 2 + 2 x + 2. {\displaystyle (x^{2}+x+2)^{49}=4x^{2}+2x+2.}

Rys historyczny

Ciała o rzędzie wyrażającym się liczbą pierwszą, Z / p Z , {\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ,} były przedmiotem badań wielu pionierów teorii liczb, m.in. Pierre’a de Fermata, Leonharda Eulera, Josepha Louisa Lagrange’a, Adriena-Marie Legendre’a, czy Carla Friedricha Gaussa. Pierwszym matematykiem piszącym o innych ciałach skończonych był Évariste Galois, który przedstawił o nich pracę w 1830 roku (ciałami o rzędach niewyrażających się liczbami pierwszymi zajmował się wcześniej Gauss, co odkryto jednak dopiero po jego śmierci w 1855 roku, wydając jego prace na ten temat w 1863 roku, lecz przeszły one bez większego echa).

Galois konstruował ciała skończone jako rozszerzenia pojedyncze F p ( α ) , {\displaystyle \mathbf {F} _{p}(\alpha ),} gdzie α {\displaystyle \alpha } jest pierwiastkiem wielomianu nierozkładalnego π {\displaystyle \pi } zmiennej x {\displaystyle x} nad ciałem F p {\displaystyle \mathbf {F} _{p}} (tzn. należącego do F p [ x ] {\displaystyle \mathbf {F} _{p}[x]} ); jest to równoważne rozpatrywaniu F p [ x ] / ( π ) . {\displaystyle \mathbf {F} _{p}[x]/(\pi ).} Galois nie pokazał, że w F p [ x ] {\displaystyle \mathbf {F} _{p}[x]} istnieje wielomian nierozkładalny dowolnego stopnia.

W 1893 roku na Międzynarodowym Kongresie Matematycznym w Chicago Eliakim Hastings Moore dowiódł, że każde ciało skończone jest izomorficzne z ciałem postaci F p [ x ] / ( π ) ; {\displaystyle \mathbf {F} _{p}[x]/(\pi );} twierdzenie opatrzył komentarzem „Nigdzie indziej nie widziałem sformułowania tego interesującego wyniku”[1]. Moore był pierwszą osobą, która użyła angielskiego słowa field (dosł. „pole”) w sensie algebraicznym, choć traktował je jako synonim niemieckiego endlicher Körper (dosł. „ciało skończone”)[2]. Każde skonstruowane ciało postaci F p [ x ] / ( π ) . {\displaystyle \mathbf {F} _{p}[x]/(\pi ).} nazywał on ciałem Galois, były więc one dla niego konkretnymi modelami wszystkich ciał skończonych. W informatyce wyrażenie Moore’a „ciało Galois” jest synonimem ciała skończonego, a stosowana przez niego notacja G F ( q ) {\displaystyle \mathrm {GF} (q)} (od ang. Galois field) stosowana jest często zamiast F q . {\displaystyle \mathbf {F} _{q}.}

Uwagi

  1. ↑ Warstwy modulo π {\displaystyle \pi } są reprezentowane za pomocą reszt c 0 + c 1 x + … + c n − 1 x n − 1 , {\displaystyle c_{0}+c_{1}x+\ldots +c_{n-1}x^{n-1},} gdzie c i ∈ F p , {\displaystyle c_{i}\in \mathbf {F} _{p},} przy czym jest ich p n . {\displaystyle p^{n}.} Ponieważ π {\displaystyle \pi } jest nierozkładalny, to korzystając z tego samego argumentu, co przy dowodzie, iż Z / ( m ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(m)} jest ciałem dla m {\displaystyle m} będącego liczbą pierwszą, pierścień F p [ x ] / ( π ) {\displaystyle \mathbf {F} _{p}[x]/(\pi )} jest ciałem.
  2. ↑ Charakterystyka ciała skończonego F {\displaystyle F} jest liczbą pierwszą, gdyż jądro homomorfizmu Z → F {\displaystyle \mathbb {Z} \to F} jest niezerowe (z uwagi na nieskończony rząd Z {\displaystyle \mathbb {Z} } i skończony F {\displaystyle F} ) i jest postaci ( m ) = m Z {\displaystyle (m)=m\mathbb {Z} } dla pewnej liczby całkowitej m > 0 , {\displaystyle m>0,} zatem Z / ( m ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(m)} zanurza się w F {\displaystyle F} jako podpierścień; każdy podpierścień ciała jest dziedziną, zatem m {\displaystyle m} musi być liczbą pierwszą, oznaczaną dalej p . {\displaystyle p.} Skoro Z / ( p ) ↪ F {\displaystyle \mathbb {Z} /(p)\hookrightarrow F} jest zanurzeniem, to F {\displaystyle F} można traktować jako przestrzeń liniową nad Z / ( p ) , {\displaystyle \mathbb {Z} /(p),} skończonego wymiaru n = [ F : Z / ( p ) ] := dim Z / ( p ) ⁡ ( F ) {\displaystyle n=[F\colon \mathbb {Z} /(p)]:=\dim _{\mathbb {Z} /(p)}(F)} (gdyż F {\displaystyle F} jest zbiorem skończonym). Każdy element F {\displaystyle F} można wtedy zapisać jednoznacznie w bazie ( e i ) {\displaystyle (e_{i})} nad Z / ( p ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(p)} jako kombinację liniową c 1 e 1 + … + c n e n {\displaystyle c_{1}e_{1}+\ldots +c_{n}e_{n}} dla c i ∈ Z / ( p ) ; {\displaystyle c_{i}\in \mathbb {Z} /(p);} liczba tych kombinacji wynosi p n . {\displaystyle p^{n}.}
  3. ↑ Lemat: Jeśli ciało F {\displaystyle F} jest skończone, to jego grupa multiplikatywna F ∗ {\displaystyle F^{*}} jest cykliczna.
    Dowód lematu: Niech k {\displaystyle k} oznacza największy rząd elementu w grupie F ∗ ; {\displaystyle F^{*};} z teorii skończonych grup abelowych wynika, że rząd dowolnego jej elementu dzieli rząd maksymalny, zatem dla dowolnego t ∈ F ∗ {\displaystyle t\in F^{*}} zachodzi t k = 1. {\displaystyle t^{k}=1.} Stąd wszystkie elementy grupy F ∗ {\displaystyle F^{*}} są pierwiastkami x k − 1. {\displaystyle x^{k}-1.}
    Niech q = | F | ; {\displaystyle q=|F|;} liczba pierwiastków wielomianu jest równa co najwyżej stopniowi wielomianu, a ponieważ x k − 1 {\displaystyle x^{k}-1} ma q − 1 {\displaystyle q-1} pierwiastków w F , {\displaystyle F,} to q − 1 ⩽ k . {\displaystyle q-1\leqslant k.} Skoro k {\displaystyle k} jest rzędem elementu w F ∗ {\displaystyle F^{*}} będącej grupą rzędu q − 1 , {\displaystyle q-1,} to k | ( q − 1 ) , {\displaystyle k|(q-1),} a więc k = q − 1 , {\displaystyle k=q-1,} skąd wynika, że w F {\displaystyle F} istnieją elementy rzędu q − 1 , {\displaystyle q-1,} co oznacza, iż F ∗ {\displaystyle F^{*}} jest cykliczna.
  4. ↑ Niech F {\displaystyle F} będzie ciałem skończonym o p n {\displaystyle p^{n}} elementach (z twierdzenia wyżej) i dane będzie zanurzenie ciał F p ↪ F . {\displaystyle \mathbf {F} _{p}\hookrightarrow F.} Niech γ {\displaystyle \gamma } będzie generatorem grupy cyklicznej F ∗ {\displaystyle F^{*}} (z powyższego lematu). Ewaluacja e v γ : F p [ x ] → F {\displaystyle \mathrm {ev} _{\gamma }\colon \mathbf {F} _{p}[x]\to F} wielomianu dla elementu γ {\displaystyle \gamma } dana wzorem e v γ ( f ) = f ( γ ) {\displaystyle \mathrm {ev} _{\gamma }(f)=f(\gamma )} jest homomorfizmem pierścieni. Ponieważ każdy element F {\displaystyle F} jest zerem lub potęgą γ {\displaystyle \gamma } (tzn. 0 = e v γ ( 0 ) {\displaystyle 0=\mathrm {ev} _{\gamma }(0)} oraz γ r = e v γ ( x r ) {\displaystyle \gamma ^{r}=\mathrm {ev} _{\gamma }(x^{r})} dla dowolnego r ⩾ 0 {\displaystyle r\geqslant 0} ), to e v γ {\displaystyle \mathrm {ev} _{\gamma }} jest epimorfizmem („na”), zatem F p [ x ] / ker ⁡ e v γ ≃ F . {\displaystyle \mathbf {F} _{p}[x]/\ker \mathrm {ev} _{\gamma }\simeq F.} Skoro jądro e v γ {\displaystyle \mathrm {ev} _{\gamma }} jest ideałem maksymalnym w F p [ x ] , {\displaystyle \mathbf {F} _{p}[x],} to musi być ono równe ( π ) {\displaystyle (\pi )} dla pewnego unormowanego wielomianu nierozkładalnego π {\displaystyle \pi } należącego do F p [ x ] . {\displaystyle \mathbf {F} _{p}[x].}
  5. ↑ Twierdzenie to nie zapewnia o istnieniu ciał rzędów wyrażających się za pomocą wszystkich potęg liczb pierwszych; mówi jedynie, iż jeśli istnieje ciało rzędu p n , {\displaystyle p^{n},} to jest ono izomorficzne z F p [ x ] / ( π ) ; {\displaystyle \mathbf {F} _{p}[x]/(\pi );} odpowiedni dowód istnienia przedstawiono dalej.
  6. ↑ Niech F {\displaystyle F} będzie ciałem rzędu p n ; {\displaystyle p^{n};} z dowodu twierdzenia o rzędzie ciała skończonego wynika, że F {\displaystyle F} zawiera podciało rzędu p {\displaystyle p} izomorficzne z F p , {\displaystyle \mathbf {F} _{p},} jest nim podpierścień F {\displaystyle F} generowany przez 1. Dla każdego t ∈ F {\displaystyle t\in F} zachodzi t p n = t ; {\displaystyle t^{p^{n}}=t;} otóż jeśli t ≠ 0 , {\displaystyle t\neq 0,} to t p n − 1 = 1 , {\displaystyle t^{p^{n}-1}=1,} gdyż F ∗ = F ∖ { 0 } {\displaystyle F^{*}=F\setminus \{0\}} jest grupą multiplikatywną rzędu p n − 1 {\displaystyle p^{n}-1} i wtedy tożsamość wynika z obustronnego pomnożenia równania przez t , {\displaystyle t,} co jest również prawdą w przypadku, gdy t = 0. {\displaystyle t=0.} Każdy element F {\displaystyle F} jest pierwiastkiem x p n − x , {\displaystyle x^{p^{n}}-x,} zatem F {\displaystyle F} jest ciałem rozkładu tego wielomianu nad ciałem F p . {\displaystyle \mathbf {F} _{p}.}
  7. ↑ Wynika to wprost z izomorficzności ciał rozkładu ustalonego wielomianu nad F p . {\displaystyle \mathbf {F} _{p}.}
  8. ↑ Analogiczne twierdzenie dla skończonych grup lub pierścieni jest fałszywe: tak Z / ( 4 ) , {\displaystyle \mathbb {Z} /(4),} jak i Z / ( 2 ) × Z / ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)} są rzędu 4, lecz są nieizomorficzne jako grupy addytywne (odpowiednio grupa cykliczna i grupa czwórkowa Kleina) i pierścienie przemienne.
  9. ↑ Twierdzenie: Dla dowolnych liczb pierwszej p {\displaystyle p} i naturalnej n {\displaystyle n} istnieje ciało rzędu p n . {\displaystyle p^{n}.}
    Dowód: Niech F {\displaystyle F} będzie rozszerzeniem ciała F p {\displaystyle \mathbf {F} _{p}} nad którym wielomian x p n − x {\displaystyle x^{p^{n}}-x} rozkłada się na czynniki liniowe (tzn. pewnym rozszerzeniem ciała rozkładu tego wielomianu; istnienie tego rodzaju rozszerzenia wynika z ogólnej teorii ciał). Pierwiastki wspomnianego wielomianu tworzą zbiór S = { t ∈ F : t p n = t } {\displaystyle S=\left\{t\in F\colon t^{p^{n}}=t\right\}} o p n {\displaystyle p^{n}} elementach, gdyż wielomian x p n − x {\displaystyle x^{p^{n}}-x} jest rozdzielczy: ( x p n − x ) ′ = p n x ( p n − 1 ) − 1 = − 1 , {\displaystyle \left(x^{p^{n}}-x\right)'=p^{n}x^{(p^{n}-1)}-1=-1,} gdyż p = 0 {\displaystyle p=0} w F , {\displaystyle F,} zatem x p n − x {\displaystyle x^{p^{n}}-x} i jego pochodna nie mają wspólnych pierwiastków; wielomian ten rozkłada się na czynniki liniowe nad F {\displaystyle F} i jest stopnia p n , {\displaystyle p^{n},} zatem ma p n {\displaystyle p^{n}} pierwiastków w F . {\displaystyle F.}
    Zbiór S {\displaystyle S} tworzy ciało – wynika to wprost z własności endomorfizmu Frobeniusa x ↦ x p . {\displaystyle x\mapsto x^{p}.} Mianowicie: zamkniętość ze względu na mnożenie i odwracanie (niezerowych rozwiązań) jest trywialna, z kolei zamkniętość ze względu na dodawanie i branie elementów przeciwnych wynika stąd, iż S {\displaystyle S} jest grupą addytywną: skoro p = 0 {\displaystyle p=0} w F , {\displaystyle F,} to dla dowolnych elementów a , b ∈ F {\displaystyle a,b\in F} zachodzi równość ( a + b ) p = a p + b p {\displaystyle (a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}} (wyrazy mieszane rozwinięcia dwumianu Newtona ( a + b ) p {\displaystyle (a+b)^{p}} mają współczynniki ( p k ) {\displaystyle {\tbinom {p}{k}}} będące wielokrotnościami p , {\displaystyle p,} zatem są równe zeru), co dowodzi addytywności endomorfizmu Frobeniusa, skąd wynika także addytywność jego n {\displaystyle n} -tej iteracji x ↦ x p n . {\displaystyle x\mapsto x^{p^{n}}.} Zbiór S {\displaystyle S} jest grupą ze względu na dodawanie jako zbiór punktów stałych tej właśnie funkcji addytywnej.
  10. ↑ Z powyższego twierdzenia wynika istnienie abstrakcyjnego ciała rzędu p n , {\displaystyle p^{n},} a z twierdzenia wyżej musi być ono izomorficzne z ciałem F p [ x ] / ( π ) {\displaystyle \mathbf {F} _{p}[x]/(\pi )} dla pewnego π ∈ F p [ x ] . {\displaystyle \pi \in \mathbf {F} _{p}[x].}
  11. ↑ Niech F {\displaystyle F} będzie ciałem spełniającym F p ⊆ F ⊆ F p n {\displaystyle \mathbf {F} _{p}\subseteq F\subseteq \mathbf {F} _{p^{n}}} i niech d = [ F : F p ] {\displaystyle d=[F\colon \mathbf {F} _{p}]} tak, iż | F | = p d , {\displaystyle |F|=p^{d},} a d {\displaystyle d} dzieli [ F p n : F p ] = n . {\displaystyle [\mathbf {F} _{p^{n}}\colon \mathbf {F} _{p}]=n.} Opisanie F {\displaystyle F} wyłącznie w zależności od | F | {\displaystyle |F|} zagwarantuje jedyność podciała tego rzędu w F p n . {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}.} Skoro F ∗ {\displaystyle F^{*}} jest rzędu p d − 1 , {\displaystyle p^{d}-1,} to dla każdego t ∈ F ∗ {\displaystyle t\in F^{*}} zachodzi t p d − 1 = 1 , {\displaystyle t^{p^{d}-1}=1,} zatem t p d = t , {\displaystyle t^{p^{d}}=t,} również dla t = 0. {\displaystyle t=0.} Wielomian x p d − x {\displaystyle x^{p^{d}}-x} ma co najwyżej p d {\displaystyle p^{d}} pierwiastków w F p n , {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}},} a ponieważ F {\displaystyle F} jest zbiorem p d {\displaystyle p^{d}} różnych pierwiastków, jest F = { t ∈ F p n : t p d = t } ; {\displaystyle F=\{t\in \mathbf {F} _{p^{n}}\colon t^{p^{d}}=t\};} (zależna tylko od liczby elementów) postać tego zbioru dowodzi jego jednoznaczności. Przechodząc do dowodu, iż dla każdego d | n {\displaystyle d|n} istnieje podciało ciała F p n {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}} rzędu p d : {\displaystyle p^{d}{:}} zbiór { t ∈ F p n : t p d = t } {\displaystyle \{t\in \mathbf {F} _{p^{n}}\colon t^{p^{d}}=t\}} jest ciałem na mocy tego samego argumentu, co dla zbioru S {\displaystyle S} w dowodzie twierdzenia o istnieniu; wykazanie, iż ma on p d {\displaystyle p^{d}} elementów polega na wskazaniu p d − 1 {\displaystyle p^{d}-1} niezerowych elementów w F p n {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}} spełniających t p d − 1 = 1. {\displaystyle t^{p^{d}-1}=1.} Otóż niech γ {\displaystyle \gamma } będzie generatorem F p n ∗ , {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}^{*},} czyli ma rząd p n − 1 ; {\displaystyle p^{n}-1;} ponieważ d | n , {\displaystyle d|n,} tj. ( p d − 1 ) {\displaystyle (p^{d}-1)} dzieli p n − 1 , {\displaystyle p^{n}-1,} to α := γ ( p n − 1 ) / ( p d − 1 ) {\displaystyle \alpha :=\gamma ^{(p^{n}-1)/(p^{d}-1)}} jest rzędu p d − 1. {\displaystyle p^{d}-1.} Wszystkie potęgi α k {\displaystyle \alpha ^{k}} dla 0 ⩽ k ⩽ p d − 2 {\displaystyle 0\leqslant k\leqslant p^{d}-2} spełniają t p d − 1 = 1. {\displaystyle t^{p^{d}}-1=1.}
  12. ↑ Dla dowolnego a ∈ F p {\displaystyle a\in \mathbf {F} _{p}} zachodzi a p = a , {\displaystyle a^{p}=a,} zatem F p {\displaystyle \mathbf {F} _{p}} jest zbiorem punktów stałych funkcji φ p : F p n → F p n ; {\displaystyle \varphi _{p}\colon \mathbf {F} _{p^{n}}\to \mathbf {F} _{p^{n}};} funkcja ta jest homomorfizmem ciał i jest różnowartościowa (wszystkie homomorfizmy ciał są monomorfizmami), a także „na”, jako że F p n {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}} jest skończone (innymi słowy endomorfizm Frobeniusa jest automorfizmem). Stąd φ p ∈ G a l ( F p n / F p ) . {\displaystyle \varphi _{p}\in \mathrm {Gal} (\mathbf {F} _{p^{n}}/\mathbf {F} _{p}).} Rząd tej grupy Galois wynosi [ F p n : F p ] = n ; {\displaystyle [\mathbf {F} _{p^{n}}:\mathbf {F} _{p}]=n;} wystarczy wykazać, że φ p {\displaystyle \varphi _{p}} jest rzędu n , {\displaystyle n,} co oznaczać będzie, iż jest generatorem tej grupy. Niech dla r ⩾ 0 {\displaystyle r\geqslant 0} będzie φ p r ( t ) = t p r . {\displaystyle \varphi _{p}^{r}(t)=t^{p^{r}}.} Wówczas jeśli φ p r {\displaystyle \varphi _{p}^{r}} jest elementem neutralnym tej grupy, to t p r = t {\displaystyle t^{p^{r}}=t} dla wszystkich t ∈ F p n . {\displaystyle t\in \mathbf {F} _{p^{n}}.} Wielomian x p r − x {\displaystyle x^{p^{r}}-x} ma co najwyżej p r {\displaystyle p^{r}} pierwiastków, zatem p n < p r , {\displaystyle p^{n}<p^{r},} czyli n < r . {\displaystyle n<r.} Wynika stąd, iż φ p {\displaystyle \varphi _{p}} ma w G a l ( F p n / F p ) {\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbf {F} _{p^{n}}/\mathbf {F} _{p})} rząd równy co najmniej n ; {\displaystyle n;} z drugiej strony grupa ta ma rząd co najwyżej n , {\displaystyle n,} zatem φ p {\displaystyle \varphi _{p}} musi być także rzędu n . {\displaystyle n.}
  13. ↑ Każde skończone ciało rzędu wyrażającego się potęgą liczby pierwszej p {\displaystyle p} jest rozszerzeniem Galois nad F p . {\displaystyle \mathbf {F} _{p}.} W szczególności dotyczy to ciała F p ( α ) , {\displaystyle \mathbf {F} _{p}(\alpha ),} a pozostałe pierwiastki π {\displaystyle \pi } można otrzymać z α , {\displaystyle \alpha ,} działając na ten element grupą G a l ( F p n / F p ) . {\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbf {F} _{p^{n}}/\mathbf {F} _{p}).} Ponieważ grupa ta jest generowana przez endomorfizm Frobeniusa, to pierwiastki π {\displaystyle \pi } należą do zbioru α , α p , α p 2 , … {\displaystyle \alpha ,\alpha ^{p},\alpha ^{p^{2}},\dots } Zbiór ten jest skończony, gdyż α p d = α , {\displaystyle \alpha ^{p^{d}}=\alpha ,} co wynika stąd, iż F p ( α ) ≃ F p [ x ] / ( π ) {\displaystyle \mathbf {F} _{p}(\alpha )\simeq \mathbf {F} _{p}[x]/(\pi )} jest rzędu p d . {\displaystyle p^{d}.} Wielomian π {\displaystyle \pi } jest rozdzielczy, ponieważ jego pierwiastki należą do rozszerzenia Galois F p ( α ) {\displaystyle \mathbf {F} _{p}(\alpha )} ciała F p , {\displaystyle \mathbf {F} _{p},} a skoro ma on stopień d , {\displaystyle d,} to parami różne elementy α , α p , α p 2 , … , α p d − 1 {\displaystyle \alpha ,\alpha ^{p},\alpha ^{p^{2}},\dots ,\alpha ^{p^{d-1}}} tworzą zbiór jego pierwiastków.
  14. ↑ Twierdzenie: Dla dowolnej liczby naturalnej n {\displaystyle n} istnieje unormowany wielomian nierozkładalny stopnia n {\displaystyle n} należący do F q [ x ] . {\displaystyle \mathbf {F} _{q}[x].}
    Twierdzenie: Między F q {\displaystyle \mathbf {F} _{q}} a F q n {\displaystyle \mathbf {F} _{q^{n}}} istnieje jedno i tylko jedno ciało rzędu q d {\displaystyle q^{d}} dla każdego d | n ; {\displaystyle d|n;} jest ono postaci { t ∈ F q n : t q d = t } . {\displaystyle \left\{t\in \mathbf {F} _{q^{n}}\colon t^{q^{d}}=t\right\}.}
    Twierdzenie: Dla dowolnej liczby naturalnej n {\displaystyle n} ciało F q n / F q {\displaystyle \mathbf {F} _{q^{n}}/\mathbf {F} _{q}} jest rozszerzeniem Galois, a jego grupa Galois G a l ( F q n / F q ) {\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbf {F} _{q^{n}}/\mathbf {F} _{q})} jest cykliczna, przy czym jej generatorem jest przekształcenie φ q : t ↦ t q . {\displaystyle \varphi _{q}\colon t\mapsto t^{q}.}
    Twierdzenie: Jeśli π ∈ F q [ x ] {\displaystyle \pi \in \mathbf {F} _{q}[x]} jest wielomianem nierozkładalnym stopnia d {\displaystyle d} i ma pierwiastek α {\displaystyle \alpha } w pewnym rozszerzeniu ciała F q , {\displaystyle \mathbf {F} _{q},} to zbiór elementów α , α q , α q 2 , … , α q d − 1 {\displaystyle \alpha ,\alpha ^{q},\alpha ^{q^{2}},\dots ,\alpha ^{q^{d-1}}} zawiera wszystkie jego pierwiastki.
  15. ↑ Jeśli F = { a 1 , … , a r } {\displaystyle F=\{a_{1},\dots ,a_{r}\}} jest ciałem skończonym, to wartość wielomianu ( x − a 1 ) … ( x − a r ) + 1 {\displaystyle (x-a_{1})\dots (x-a_{r})+1} dla dowolnego elementu x ∈ F {\displaystyle x\in F} jest równa 1 (jego funkcja wielomianowa jest stale równa 1), skąd wielomian ten nie ma pierwiastków w F . {\displaystyle F.}
  16. ↑ Jeśli (w ciele Z 4 {\displaystyle \mathbb {Z} _{4}} ) element a {\displaystyle a} byłby elementem odwrotnym do 2, to (z definicji) 2 ⋅ a = 1 ; {\displaystyle 2\cdot a=1;} jednakże wtedy 2 = 2 ⋅ 1 = 2 ⋅ ( 2 ⋅ a ) = ( 2 ⋅ 2 ) ⋅ a = 0 ⋅ a = 0 , {\displaystyle 2=2\cdot 1=2\cdot (2\cdot a)=(2\cdot 2)\cdot a=0\cdot a=0,} czyli 2 nie może mieć elementu odwrotnego.

Przypisy

  1. ↑ Moore 1893 ↓, s. 211: „This interesting result I have not seen stated elsewhere.”.
  2. ↑ Moore 1893 ↓, s. 208.

Bibliografia

  • Eliakim Hastings Moore. A doubly-infinite system of simple groups. „Mathematical papers read at the International Mathematical Congress held in connection with the World’s Columbian Exposition, Chicago, 1893”, s. 208–242, 1896. Nowy Jork: Macmillan & Co.. [dostęp 2020-10-10]. 

Literatura dodatkowa

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Finite Field, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
  • LCCN: sh85048351
  • BnF: 120618782
  • BNCF: 63749
  • J9U: 987007531228605171