Liczba nieosiągalna

Liczba nieosiągalna – regularna graniczna liczba kardynalna. Regularne silnie graniczne liczby kardynalne nazywane są liczbami silnie nieosiągalnymi. Liczby nieosiągalne są najprostszymi przykładami dużych liczb kardynalnych.

Istnieją pewne niekonsekwencje w terminologii dotyczącej liczb nieosiągalnych. Niektórzy autorzy używają nazwy liczby słabo nieosiągalne na oznaczenie granicznych liczb regularnych rezerwując nazwę liczba nieosiągalna dla silnie granicznych regularnych liczb kardynalnych.

Definicje

• Liczba porządkowa ${\displaystyle \alpha }$ jest początkową liczbą porządkową jeśli ${\displaystyle \alpha }$ nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe są też nazywane liczbami kardynalnymi.
• Dla liczby kardynalnej ${\displaystyle \kappa }$ określamy:

${\displaystyle \kappa ^{+}}$ jest pierwszą liczbą kardynalną większą od ${\displaystyle \kappa }$ (jest to tzw. następnik ${\displaystyle \kappa }$),

${\displaystyle 2^{\kappa }}$ jest mocą rodziny wszystkich podzbiorów ${\displaystyle \kappa .}$

• Liczba kardynalna ${\displaystyle \kappa }$ jest regularną liczbą kardynalną jeśli dla każdej rodziny zbiorów ${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$ takich że ${\displaystyle |A_{i}|<\kappa }$ dla wszystkich ${\displaystyle i\in I}$ oraz ${\displaystyle |I|<\kappa }$ mamy, że ${\displaystyle \left|\bigcup \limits _{i\in I}A_{i}\right|<\kappa .}$
• Liczba kardynalna ${\displaystyle \kappa }$ jest graniczną liczbą kardynalną jeśli ${\displaystyle \kappa }$ jest nieskończona oraz dla każdej liczby kardynalnej ${\displaystyle \mu <\kappa }$ mamy ${\displaystyle \mu ^{+}<\kappa .}$ Powiemy, że ${\displaystyle \kappa }$ jest silnie graniczną liczbą kardynalną, jeśli ${\displaystyle \kappa }$ jest nieskończona oraz dla każdej liczby kardynalnej ${\displaystyle \mu <\kappa }$ mamy ${\displaystyle 2^{\mu }<\kappa .}$

Nieprzeliczalna liczba kardynalna ${\displaystyle \kappa }$ jest (słabo) nieosiągalna jeśli jest ona graniczna i regularna, a jest nazywana liczbą silnie nieosiągalną, jeśli jest ona silnie graniczna i regularna.

Własności i przykłady

• Definicja liczb nieosiągalnych jest sformułowana dla liczb nieprzeliczalnych tylko, aby wyeliminować trochę patologiczny przypadek pierwszej nieskończonej liczby kardynalnej ${\displaystyle \aleph _{0},}$ która jest regularna i silnie graniczna. Podobieństwo liczb nieosiągalnych do liczby ${\displaystyle \aleph _{0}}$ jest czasami wyrażane w stwierdzeniu, że liczby nieosiągalne mają się do liczb mniejszych tak jak ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ma się do liczb skończonych.
• Jeśli ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą nieosiągalną, to ${\displaystyle \aleph _{\kappa }=\kappa .}$
• Jeśli ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą silnie nieosiągalną, to ${\displaystyle \beth _{\kappa }=\kappa .}$
• Jeśli GCH jest spełnione, to każda liczba (słabo) nieosiągalna jest silnie nieosiągalna.
• W ZFC, jeśli ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą silnie nieosiągalną, to V_κ jest modelem ZFC. Zakładając ZF, jeśli ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą (słabo) nieosiągalną, to L_κ jest modelem ZFC. Zatem „ZF+ istnieje liczba nieosiągalna” implikuje, że „ZFC jest niesprzeczne”. Na mocy drugiego twierdzenia Gödla o niezupełności nie można udowodnić w ZFC że istnieją liczby nieosiągalne.
• Jeśli istnieją liczby nieosiągalne i ${\displaystyle \kappa }$ jest pierwszą taką liczbą, to L_κ jest modelem dla „ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne”. Zatem jeśli teoria ZFC jest niesprzeczna, to także teoria „ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne” jest niesprzeczna.