Pierwiastek kwadratowy z 2

Pierwiastek kwadratowy z liczby 2 (często pierwiastek [arytmetyczny] z 2) – dodatnia liczba rzeczywista, której kwadrat jest równy liczbie 2. Jest to więc przykład liczby algebraicznej stopnia 2. Geometrycznie pierwiastek kwadratowy z 2 jest długością przekątnej kwadratu o boku długości 1, co wynika wprost z twierdzenia Pitagorasa (patrz rysunek obok).

Prawdopodobnie jest to pierwsza znana liczba niewymierna (patrz dowody niewymierności); jej rozwinięcie dziesiętne z dokładnością do 65 miejsca po przecinku^[1] wynosi

1,414213 562373 095048 801688 724209 698078 569671 875376 948073 176679 737990…

Dobrym przybliżeniem pierwiastka kwadratowego z 2 jest liczba wymierna ${\displaystyle {\tfrac {99}{70}};}$ choć mianownik tego ułamka ma wartość zaledwie 70, to błąd wartości faktycznej jest mniejszy niż 1/10 000.

Historia

 Zobacz też: liczby niewymierne.

Gliniana tabliczka babilońska YBC 7289 (ok. 1800–1600 p.n.e.) podaje przybliżenie ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ na czterech cyfrach sześćdziesiątkowych, co odpowiada dokładności około sześciu cyfr dziesiętnych^[2]:

${\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1{,}41421{\overline {296}}.}$

Inne wczesne przybliżenie tej wartości pochodzi ze staroindyjskich tekstów matematycznych, Sulba Sutras (ok. 800–200 p.n.e.) podaje: „Zwiększ długość [boku] o jego trzecią część i ćwierć trzeciej bez trzydziestej czwartej tej ćwierci”^[3], co daje

${\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\approx 1{,}414215686.}$

To staroindyjskie przybliżenie jest siódmym w kolejności zwiększania dokładności przybliżeń opartych na ciągu liczb Pella, które mogą być wyznaczone w rozwinięciu ułamka łańcuchowego z ${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$

Pitagorejczycy odkryli, że przekątna kwadratu jest niewspółmierna z jego bokiem, co dziś można by zawrzeć w stwierdzeniu, iż pierwiastek kwadratowy z 2 jest liczbą niewymierną (patrz Geometryczny dowód niewymierności). Niewiele wiadomo o czasie i okolicznościach tego odkrycia, ale często wspomniane jest imię Hippazosa z Metapontu. Obecnie uważa się, że starożytni Grecy traktowali odkrycie niewymierności pierwiastka kwadratowego z 2 jako „tajemnicę służbową”, a według legendy Hippazos miał zostać zamordowany za jej ujawnienie^[4][5][6].

Niewymierność

 Zobacz też: liczby niewymierne.

Liczba ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ jest niewymierna, tzn. nie da się jej przedstawić w postaci ułamka zwykłego postaci ${\displaystyle {\tfrac {m}{n}},}$ gdzie ${\displaystyle m,\ n}$ są liczbami całkowitymi (ponieważ ${\displaystyle {\sqrt {2}}>0,}$ to można ograniczyć się do dodatnich, tzn. naturalnych ${\displaystyle m,\ n}$). Oba przedstawione dowody są rozumowaniami nie wprost.

Dowód geometryczny

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że stosunek długości ${\displaystyle m}$ przeciwprostokątnej ${\displaystyle AC}$ do długości ${\displaystyle n}$ dowolnej przyprostokątnej (${\displaystyle AB}$ lub ${\displaystyle BC}$) w równoramiennym trójkącie prostokątnym ${\displaystyle ABC}$ wynosi ${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$ Niech będzie on wielkością wymierną, tzn. istnieją dwie całkowite i dodatnie liczby ${\displaystyle m,\ n,}$ dla których ${\displaystyle {\sqrt {2}}={\tfrac {m}{n}},}$ przy czym są najmniejsze liczby o tej własności.

Przedłużając odcinek ${\displaystyle AB}$ do odcinka ${\displaystyle AE}$ o długości ${\displaystyle m}$ oraz odkładając na boku ${\displaystyle AC}$ odcinek ${\displaystyle AD}$ o długości ${\displaystyle n,}$ otrzymuje się wraz z punktami ${\displaystyle D,\ E}$ również punkt ${\displaystyle F}$ będący punktem przecięcia odcinków ${\displaystyle BC}$ oraz ${\displaystyle DE.}$ Ponadto można wyróżnić dwa równoramienne trójkąty prostokątne ${\displaystyle EBF}$ oraz ${\displaystyle CDF}$ podobne do ${\displaystyle ABC}$ o przyprostokątnych długości ${\displaystyle m-n}$ i przeciwprostokątnych ${\displaystyle 2n-m.}$

Ponieważ ${\displaystyle n<m<2n,}$ to nieujemne długości ${\displaystyle n'=m-n}$ oraz ${\displaystyle m'=2n-m}$ są mniejsze odpowiednio od ${\displaystyle n}$ oraz ${\displaystyle m}$ i również spełniają ${\displaystyle {\sqrt {2}}=m'/n'}$ (z konstrukcji), co przeczy założeniu minimalności liczb ${\displaystyle m,\ n}$ o tej własności. Sprzeczność ta dowodzi, iż ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ nie może być liczbą wymierną.

Dowód arytmetyczny

Niech ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ będzie liczbą wymierną, tzn. istnieją dwie takie liczby naturalne ${\displaystyle m}$ oraz ${\displaystyle n,}$ że ${\displaystyle {\sqrt {2}}=m/n,}$ przy czym każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, tzn. można założyć o liczniku i mianowniku tego ułamka, że są względnie pierwsze.

Podnosząc powyższą równość obustronnie do kwadratu, otrzymuje się ${\displaystyle 2=m^{2}/n^{2},}$ skąd ${\displaystyle 2n^{2}=m^{2}.}$ Ponieważ ${\displaystyle 2n^{2}}$ jest liczbą parzystą, to i ${\displaystyle m^{2}}$ jest parzysta. Skoro kwadrat liczby jest parzysty, to liczba też jest parzysta^[a]; stąd ${\displaystyle m=2k}$ dla pewnej liczby naturalnej ${\displaystyle k,.}$ Podstawienie tego wyrażenia do poprzedniego równania daje ${\displaystyle m^{2}=(2k)^{2}=4k^{2},}$ zatem ${\displaystyle 2n^{2}=4k^{2},}$ tj. ${\displaystyle n^{2}=2k^{2},}$ co oznacza, że liczba ${\displaystyle n^{2},}$ a stąd także ${\displaystyle n,}$ jest parzysta.

Skoro ${\displaystyle m,n}$ są jednocześnie parzyste, więc nie są względnie pierwsze. Sprzeczność ta dowodzi, że liczba ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ jest niewymierna.

Własności

Poza niewymiernością opisaną w poprzedniej sekcji pierwiastek z 2 ma szereg innych własności; przykładowo połowa ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ wynosząca ok. 0,70710 67811 86548, która bywa wykorzystywana przede wszystkim w geometrii i trygonometrii, gdyż wersor tworzący kąt 45° z osiami układu współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie euklidesowej ma współrzędne

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right).}$

Liczba ta spełnia

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos(45^{\circ })=\sin(45^{\circ }).}$

Inną własnością pierwiastka kwadratowego z 2 jest:

${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1,}$

gdyż ${\displaystyle \left({\sqrt {2}}+1\right)\left({\sqrt {2}}-1\right)=2-1=1.}$ Jest to związane z właściwościami srebrnego podziału.

Kolejna własność pierwiastka kwadratowego z 2 to:

${\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\ldots }}}}}}=2.}$

Pierwiastek kwadratowy z 2 może zostać wyrażony za pomocą jednostek urojonych i, wykorzystując tylko pierwiastkowanie i operacje arytmetyczne:

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}{\text{ i }}{\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}.}$

Pierwiastek kwadratowy z 2 jest także jedyną liczbą rzeczywistą różną od 1, której nieskończone potęgowanie przez siebie samą jest równe jej kwadratowi.

${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\ \cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=2.}$

Pierwiastek kwadratowy z 2 może zostać użyty do aproksymacji π:

${\displaystyle 2^{m}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\ldots +{\sqrt {2}}}}}}}} _{m}\to \pi \quad {\text{ gdy }}m\to \infty }$

dla ${\displaystyle m}$ pierwiastków kwadratowych i tylko jednego odejmowania^[7].

Reprezentacje

Przedstawienia
Dwójkowo	1,0110101000001001111…
Dziesiętnie	1,4142135623730950488…
Szesnastkowo	1,6A09E667F3BCC908B2F…
Ułamek łańcuchowy	${\displaystyle [1;2,2,2,2,\dots ]}$

Tożsamość ${\displaystyle \cos(\pi /4)=\sin(\pi /4)=1/{\sqrt {2}},}$ przy uwzględnieniu nieskończonych reprezentacji iloczynowych dla sinusa i cosinusa, prowadzi do następującej zależności

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(4k+2)^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\left(1-{\frac {1}{36}}\right)\left(1-{\frac {1}{100}}\right)\ldots }$

i

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}=\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\ldots }$

lub równoważnie,

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4k+1}}\right)\left(1-{\frac {1}{4k+3}}\right)=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{5}}\right)\left(1-{\frac {1}{7}}\right)\ldots }$

Ta liczba może także być wyrażona za pomocą szeregów Taylora z funkcji trygonometrycznych. Na przykład seria dla ${\displaystyle \cos(\pi /4)}$ daje

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2k}}{(2k)!}}.}$

Szereg Taylora z ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$ dla ${\displaystyle x=1}$ i silnia podwójna ${\displaystyle n!!}$ daje

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(2k-3)!!}{(2k)!!}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}+\ldots }$

Zbieżność szeregu może być przyspieszona przez przekształcenie Eulera, prowadzące do postaci

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k+1)!}{(k!)^{2}2^{3k+1}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {15}{64}}+{\frac {35}{256}}+{\frac {315}{4096}}+{\frac {693}{16384}}+\ldots }$

Nie wiadomo czy ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ może być przedstawiony za pomocą formuły typu BBP, aczkolwiek formuły typu BBP są znane dla ${\displaystyle \pi {\sqrt {2}}}$ i ${\displaystyle {\sqrt {2}}\ln(1+{\sqrt {2}})}$^[8].

Przybliżenia

 Zobacz też: algorytm.

O doniosłości tej liczby mówi fakt, iż wśród stałych matematycznych z większą dokładnością obliczono jedynie stałą π^[9]. Istnieje wiele algorytmów przybliżania pierwiastka kwadratowego z 2. Najczęściej stosowaną metodą, używaną jako podstawowa na wielu komputerach i kalkulatorach, jest tzw. „metoda babilońska”^[b] obliczania pierwiastka kwadratowego (zwana także metodą Herona), która jest jedną z wielu metod. Algorytm jest następujący:

• wybrać liczbę początkową ${\displaystyle a_{0}>0,}$ która ma wpływ jedynie na liczbę iteracji niezbędną do osiągnięcia przybliżenia z żądaną dokładnością;
• wykonać kolejne obliczenia rekurencyjne:

  ${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.}$

Zwiększenie liczby iteracji algorytmu, tj. przeprowadzenie obliczeń dla większej liczby ${\displaystyle n,}$ zwiększa średnio dwukrotnie liczbę poprawnych cyfr rozwinięcia. Przyjęcie ${\displaystyle a_{0}=1}$ daje następujące przybliżenia

${\displaystyle {\begin{array}{l}a_{1}&=3/2&={\boldsymbol {1}}{,}5\\a_{2}&=17/12&={\boldsymbol {1{,}41}}6\dots \\a_{3}&=577/408&={\boldsymbol {1{,}41421}}5\dots \\a_{4}&=665857/470832&={\boldsymbol {1{,}41421356237}}46\dots \\\dots \end{array}}}$

W 1997 roku zespół Yasumasy Kanady obliczył wartość pierwiastka z 2 z dokładnością do 137 438 953 444 cyfr po przecinku. W lutym 2006 roku pobito rekord przybliżania tej liczby przy użyciu komputera domowego: Shigeru Kondo obliczył 200 000 000 000 cyfr po przecinku w nieco ponad 13 dni i 14 godzin, używając PC 3,6 GHz z 16 GiB pamięci^[10].

Zastosowania

Format papieru

 Zobacz też: format arkusza.

Rozmiary papieru formatu A, B i C normy ISO 216 zostały celowo tak zaprojektowane, żeby po podzieleniu na dwie równe części uzyskać dwa arkusze o tych samych proporcjach długości do szerokości. Jest to możliwe, tylko jeśli ten stosunek wynosi √2. W praktyce rzeczywiste wymiary są zaokrąglone do pełnych milimetrów.

Przybliżone wymiary A0-A4 wyrażone w √2. W praktyce, wymiary są zaokrąglone.

Format	Długość [m]	Szerokość [m]	Powierzchnia [m²]
A0	${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\sqrt {2}}}{\sqrt {2}}}}$	${\displaystyle 1}$
A1	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\sqrt {2}}}{\sqrt {2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\sqrt {2}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
A2	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\sqrt {2}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\sqrt {2}}}{2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$
A3	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\sqrt {2}}}{2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$
A4	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\sqrt {2}}}{4{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{16}}}$

Serie formatu B i C różnią się od serii A odpowiednio o czynnik ⁴√2 (~ 1,19) i ⁸√2 (~ 1,09).

Współczynniki skalujące stosowane w kserokopiarkach o wartościach 200%, 141%, 71%, 50% to przybliżone wartości (√2)ⁿ. Umożliwiają one zmianę formatu na większą lub mniejszą, bądź też wydruk 2ⁿ kopii/stron na arkusz.

Muzyka

 Zobacz też: System równomiernie temperowany.

System równomiernie temperowany jest utworzony w następujący sposób: stosunek częstotliwości między skrajnymi nutami w oktawie wynosi 2; a cała gama jest podzielona na dwanaście równych półtonów, tj. stosunek częstotliwości między kolejnymi dźwiękami jest stały i wynosi ƒ = 2^1/12.

Stosunek częstotliwości nuty w gamie równomiernie temperowanej do częstotliwości najniższej nuty w gamie.

do

do♯

re

re♯

mi

fa

fa♯

sol

sol♯

la

la♯

si

do

1

21/12

21/6

21/4

21/3

25/12

√2

27/12

22/3

23/4

25/6

211/12

2

W tym systemie, kwarta zwiększona (do–fa♯) i kwinta zmniejszona (do-sol♭) są takie same, a odległość między dźwiękami wynosi 6 półtonów (tryton), których stosunek częstotliwości wynosi ${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$ W dawnej muzyce kościelnej używanie kwinty zmniejszonej lub kwarty zwiększonej było zakazane, ponieważ interwały te wydawały się takimi dysonansami, że uznawano je za stworzone przez diabła, nazywając je z łaciny „diabolus in musica” (dosłownie „diabeł w muzyce”).

Elektryczność

 Zobacz też: Wartość skuteczna.

Ogólnie znana wartość napięcia elektrycznego 230 V, to wartość skuteczna napięcia przemiennego. Aby poznać wartość maksymalną tego napięcia należy wartość skuteczną pomnożyć przez ${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$

${\displaystyle U_{max}=U_{sk}{\sqrt {2}}=230V{\sqrt {2}}\simeq 325V}$

Zobacz też

• historia liczb
• metody obliczania pierwiastka kwadratowego
• pierwiastek kwadratowy
• pierwiastek kwadratowy z 3
• pierwiastek kwadratowy z 5
• pierwiastkowanie

Uwagi

Przypisy

Linki zewnętrzne

• JarosławJ. Górnicki JarosławJ., Przekątna kwadratu nie jest współmierna z jego bokiem, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, maj 2023, ISSN 0137-3005 [dostęp 2023-12-10]  (pol.).