Równania telegrafistów

Równania telegrafistów (równania linii długiej) – pary liniowych równań różniczkowych, które opisują zmiany zespolonej amplitudy napięcia i prądu wzdłuż linii długiej z uwzględnieniem odległości oraz czasu. Równania zostały skonstruowane przez Oliviera Heaviside’a. Teoria dotyczy wysokoczęstotliwościowych linii długich (takich jak linie telegraficzne), ale jest również ważna dla projektowania linii przesyłowych o wysokim napięciu elektrycznym. Model najłatwiej przedstawić na elementarnym odcinku dwuprzewodowej linii długiej, w którym ważną rolę gra dobrze przewodzący metal wykorzystany w kablach oraz izolujący materiał dielektryczny zastosowany do oddzielenia przewodników^[1]. Proces zmian napięcia oraz prądu w takim modelu zakłada, że wywołanie przyrostu napięcia na jednym końcu linii nie daje natychmiastowego pojawienia się takiego samego przyrostu na drugim końcu linii. Przyjmuje się zatem, że propagacja zachodzi tylko w jednym wymiarze wzdłuż linii długiej.

Równania

Równania telegrafistów mogą być rozumiane jako uproszczony przypadek równań Maxwella. W praktyczniejszym podejściu przyjmuje się, że przewodniki składają się z nieskończonego szeregu składników elementarnych, z których każdy reprezentuje nieskończenie krótki odcinek linii przesyłowej:

• rozprowadzony opór ${\displaystyle R}$ przewodnika jest reprezentowany przez opornik szeregowy (wyrażony w omach na jednostkę długości)
• rozprowadzona indukcyjność ${\displaystyle L}$ jest przedstawiona przez cewkę indukcyjną (henr na jednostkę długości)
• pojemność elektryczna ${\displaystyle C}$ między dwoma przewodnikami jest reprezentowana przez kondensator bocznika ${\displaystyle C}$ (farad na jednostkę długości)
• przewodność czynna ${\displaystyle G}$ dielektrycznego materiału rozdzielającego dwa przewodniki jest reprezentowana przez upływność czynną (siemens na jednostkę długości)

Napięcie oraz prąd opisane są równaniami różniczkowymi, tylko i wyłącznie przy spełnieniu następujących dwóch założeń:

• ${\displaystyle U(z,t)}$ oraz ${\displaystyle I(z,t)}$ są harmonicznymi funkcjami czasu o przebiegu sinusoidalnymi i pulsacji ${\displaystyle \omega }$ (gdzie ${\displaystyle U(z)}$ – zespolona amplituda napięcia; ${\displaystyle I(z)}$ – zespolona amplituda prądu)

${\displaystyle U=Ue^{j\omega t}\quad I=Ie^{j\omega t},}$

${\displaystyle A=R+j\omega L;\quad B=G+j\omega C;\quad \gamma ^{2}=AB;}$

• Linia nie zmienia swoich wymiarów, średnicy przewodów, ich odległości oraz przenikalności izolatora otaczającego przewody.

Zespolone amplitudy prądu ${\displaystyle U(z)}$ i ${\displaystyle I(z)}$ jednorodnej linii długiej związane są prostymi równaniami różniczkowymi ze stałą ${\displaystyle \gamma ,}$ zwaną stałą propagacji

${\displaystyle {\frac {d^{2}U}{dz^{2}}}-\gamma ^{2}U=0;\quad {\frac {d^{2}I}{dz^{2}}}-\gamma ^{2}I=0.}$

Identyczne równania uzyskuje się z równań Maxwella dla pól ${\displaystyle E}$ i ${\displaystyle H.}$ Równania te zwane są równaniami falowymi.

Równania telegrafistów wyraża się za pomocą ${\displaystyle R,L,C}$ i ${\displaystyle G}$ by podkreślić, że wartości są pochodnymi w związku do długości.

Linia bezstratna

Kiedy elementy ${\displaystyle R}$ i ${\displaystyle G}$ są bardzo małe, to ich wpływ może być pominięty, a linia przesyłowa może być traktowana jak idealna struktura bezstratna. W tym przypadku model zależy tylko od elementów ${\displaystyle L}$ i ${\displaystyle C}$ i uzyskuje się parę równań różniczkowych pierwszego rzędu, w których jedna funkcja opisuje napięcie elektryczne ${\displaystyle U}$ wzdłuż kabla, zaś druga natężenie prądu, obie jako funkcje położenia ${\displaystyle x}$ i czasu ${\displaystyle t{:}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}U(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t),}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}U(x,t).}$

Ich kombinacja liniowa daje dwa równania funkcji falowych:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}U={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}U,}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}I={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}I.}$

W stanie stacjonarnym (zakładając falę sinusoidalną ${\displaystyle E=E_{o}e^{-j\omega ({\frac {x}{c}}-t)}}$), równania te redukują się do:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}LC\cdot U(x)=0,}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}I(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}LC\cdot I(x)=0,}$

gdzie ${\displaystyle \omega }$ – częstość fali w stanie stacjonarnym

Jeśli linia ma nieskończoną długość albo gdy jest skończona i ma określoną impedancję falową, równania dają rozwiązanie w postaci fali przemieszczającej się z prędkością ${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$

Linia stratna

Gdy elementy straty ${\displaystyle R}$ i ${\displaystyle G}$ nie są pomijalne, oryginalne równania różniczkowe opisujące segment elementarny linii przybiera postać:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-RI(x,t),}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)-GV(x,t).}$

Po zróżniczkowaniu pierwszego równania po ${\displaystyle x}$ i drugiego po ${\displaystyle t}$ oraz po dalszych przekształceniach algebraicznych uzyskuje się równania, z których każde zawiera tylko jedną niewiadomą:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}V=LC{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}V+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}V+GRV,}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}I=LC{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}I+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}I+GRI.}$

Kierunek propagacji fali

Powyższe równania wskazują na istnienie dwóch rozwiązań przemieszczania się fali, do przodu i do tyłu. Przyjmując uproszczenie linii bezstratnej (tj. ${\displaystyle R=0}$ i ${\displaystyle G=0}$), rozwiązanie można przedstawić równaniem:

${\displaystyle V(x,t)=f_{1}(\omega t-kx)+f_{2}(\omega t+kx),}$

gdzie:

${\displaystyle k=\omega {\sqrt {LC}}={\frac {\omega }{v}},}$

${\displaystyle k}$ – liczba falowa (jednostka: radian na metr),

${\displaystyle \omega }$ – częstość kołowa (radian na sekundę),

${\displaystyle f_{1}}$ i ${\displaystyle f_{2}}$ – dowolne funkcje,

${\displaystyle v={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$ – prędkość fazowa fali.

Ponieważ równania telegrafistów wiążą natężenie prądu z napięciem, można zapisać analogiczne równanie dla natężenia prądu

${\displaystyle I(x,t)={\frac {f_{1}(\omega t-kx)}{Z_{0}}}-{\frac {f_{2}(\omega t+kx)}{Z_{0}}},}$

gdzie ${\displaystyle Z_{0}}$ jest impedancją falową linii przesyłowej, która dla linii bezstratnej jest dana przez:

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}.}$

Przypisy