Równanie Hamiltona-Jacobiego – postać równań ruchu, którą można utworzyć na podstawie hamiltonianu.
Ma ono postać równania różniczkowego cząstkowego na funkcję działania [1][2]:
gdzie opisuje transformację
która daje rozwiązania równań ruchu, w których Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle P} i pełnią rolę stałych całkowania.
Nazwa pochodzi od Williama Rowana Hamiltona i Gustava Jacobiego[3].
Wyprowadzenie
Jest to metoda całkowania równań kanonicznych Hamiltona
| | | | |
| | | | (1) |
- dla
Jeżeli przekształcenie kanoniczne
| | | | |
| | | | (2) |
prowadzi do postaci funkcji Hamiltona niezależnej od nowych zmiennych kanonicznych, np.
| | | | (3) |
równania Hamiltona przybierają postać
| | | | |
| | | | (4) |
Ich rozwiązaniem jest więc po prostu
| | | | |
| | | | (5) |
gdzie i są stałymi całkowania.
Podstawiając te rozwiązania do transformacji (2) otrzymuje się ruch fazowy wyrażony w zmiennych Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle p} i
| | | | |
| | | | (6) |
stałych dowolnych można wyznaczyć z warunków początkowych
| | | | |
| | | | (7) |
problem sprowadza się więc do znalezienia odpowiedniego przekształcenia.
Przyjmując, że przekształcenie to dane jest wzorem
| | | | |
| | | | (8) |
gdzie warunkiem, aby było to przekształcenia kanoniczne, jest
| | | | |
i wykorzystując (5) otrzymujemy
| | | | |
| | | | (9) |
Następnie, wykorzystując fakt, że dla transformacji (8) zmianę hamiltonianu opisuje wzór
| | | | (10) |
można rozwinąć (3) do postaci
| | | | (11) |
Wreszcie wstawiając (8) otrzymuje się równanie Hamiltona-Jacobiego[3]:
| | | | (12) |
Przypisy
- ↑ W.I. Arnold: Metody matematyczne mechaniki klasycznej. Warszawa: PWN, 1981, s. 231–233. ISBN 83-01-00143-7.
- ↑ Hamiltona–Jacobiego równanie, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-14] .
- ↑ a b Wojciech Rubinowicz, Wojciech Królikowski: Mechanika teoretyczna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1995, s. 204, 245–246, 253–255. ISBN 83-01-08635-1.