Analiza rzeczywista

Analiza rzeczywista – podstawowy dział analizy matematycznej badający funkcje rzeczywiste, zwłaszcza te zmiennej rzeczywistej. Operuje między innymi pojęciami z rachunku różniczkowego i całkowego jak różniczkowalność i całkowalność różnego rodzaju, definiując je ściśle, przez granice funkcji. Analiza rzeczywista bada tym narzędziem także ciągłość oraz jak te typowo analityczne własności wiążą się z innymi, zdefiniowanymi algebraicznie lub przez porządek jak okresowość, ograniczenie, monotoniczność czy własność Darboux. Jest to fundament innych działów analizy jak analiza wektorowa, równania różniczkowe, analiza harmoniczna czy zespolona. Wypracowane przez nią pojęcie ciągłości stało się centralne dla topologii, a miara określiła zakres badań probabilistyki.

Dla analizy rzeczywistej istotne bywają założenia teorii mnogości jak pewnik wyboru, a pewnej perspektywy na funkcje rzeczywiste dostarcza też analiza funkcjonalna.

Pojęcia

Wśród funkcji rzeczywistych wyróżnia się dziesiątki klas określonych własnościami jak:

Niektóre z tych rodzin funkcji tworzą struktury algebraiczne jak przestrzenie liniowe lub pierścienie, czasem jednocześnie – są wtedy algebrami nad ciałem. Te przestrzenie funkcyjne bywają wyposażane w dodatkowe struktury jak topologia, przez co mogą tworzyć przestrzenie liniowo-topologiczne – przedmiot badań analizy funkcjonalnej.

Twierdzenia

 Z tym tematem związana jest kategoria: Twierdzenia – analiza rzeczywista.

Poniższa lista obejmuje ponad 60 twierdzeń pogrupowanych tematycznie; większość z nich jest spotykana w standardowych kursach analizy rzeczywistej.

Ciągi rzeczywiste

 Z tym tematem związana jest kategoria: Kryteria zbieżności.

Ciągłość funkcji

Wykres funkcji f ( x ) := sin ⁡ ( 1 / x ) . {\displaystyle f(x):=\sin(1/x).} Ma ona własność Darboux, jednak niezależnie od przypisania jej wartości w zerze ( x = 0 ) {\displaystyle (x=0)} nie będzie tam ciągła, ponieważ nie ma w tym punkcie granicy.

Różniczkowanie

Wykres funkcji Weierstrassa – ciągłej, ale nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie
Wykres funkcji f ( x ) := x 2 sin ⁡ ( 1 / x ) , {\displaystyle f(x):=x^{2}\sin(1/x),} f ( 0 ) := 0. {\displaystyle f(0):=0.} Jest ona różniczkowalna, ale jej pochodna jest nieciągła w zerze, bo nie ma tam w ogóle granicy.
Funkcja Cantora, czasem zwana diabelskimi schodami – rosnąca mimo stacjonarności prawie wszędzie.
Wykres funkcji f ( x ) := exp ⁡ ( − 1 / x ) , {\displaystyle f(x):=\exp(-1/x),} x > 0 , {\displaystyle x>0,} f ( x ) := 0 , {\displaystyle f(x):=0,} x ⩽ 0. {\displaystyle x\leqslant 0.} W zerze, tj. dla x = 0 , {\displaystyle x=0,} jest gładka (klasy C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} ), jednak nie jest tam analityczna (klasy C ω {\displaystyle C^{\omega }} ), ponieważ jej wszystkie pochodne znikają.

Całkowanie

  • definicje całki Riemanna i Darboux są równoważne;
  • warunkiem równoważnym całkowalności w tym sensie jest ciągłość prawie wszędzie – poza zbiorem zaniedbywalnym;
  • każda funkcja monotoniczna jest całkowalna; wynika to z powyższego twierdzenia i jednego z wcześniejszych;
  • całka jest addytywna i jednorodna; w języku algebry liniowej: całka to funkcjonał liniowy;
  • zasadnicze twierdzenie analizy (Newtona-Leibniza);
  • całkowe twierdzenia o wartości średniej;
  • nierówności całkowe jak ta Buniakowskiego i jej uogólnienie – szczególna nierówność Höldera;
 Z tym tematem związana jest kategoria: Nierówności całkowe.

Inne

Oprócz tego do analizy rzeczywistej można zaliczyć twierdzenia analizy wielowymiarowej:

Twierdzenia analizy rzeczywistej miewają konsekwencje dla algebry:

W 2023 roku niektóre problemy w tej dziedzinie czekają na rozstrzygnięcie; przykładem może być zbieżność szeregu Flint Hills[7]:

∑ n = 1 ∞ 1 n 3 sin 2 ⁡ n . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sin ^{2}n}}.}

Rozwój

Klasycy analizy rzeczywistej – w kolejnych wierszach:

Bernard Bolzano (1781–1848),
Augustin Louis Cauchy (1789–1857),
Karl Weierstraß (1815–1897),
Heinrich Eduard Heine (1821–1881),
Bernhard Riemann (1826–1866),
Richard Dedekind (1831–1916),
Jean Gaston Darboux (1842–1917),

Georg Cantor (1845–1918)
 Z tym tematem związana jest kategoria: Analiza rzeczywista – naukowcy.

Niektóre twierdzenia analizy rzeczywistej noszą nazwiska uczonych z XVII i XVIII wieku jak Pierre de Fermat, Michel Rolle, Guillaume de l’Hospital i Joseph Louis Lagrange, jednak nie udowodnili oni tych wyników, nie mając jeszcze do tego odpowiednich narzędzi[potrzebny przypis].

Za początek tej dziedziny uznaje się XIX wiek, kiedy Bernard Bolzano, Augustin Louis Cauchy oraz Karl Weierstraß podali ścisłe definicje granicy ciągu oraz funkcji, co pozwoliło też na formalne zdefiniowanie pochodnej. Inni matematycy przysłużeni tej nauce to m.in.:

Richard Dedekind i Georg Cantor sformułowali teriomnogościowe podstawy analizy rzeczywistej jak aksjomaty i konstrukcje liczb rzeczywistych. W XX wieku Henri Lebesgue uogólnił całkę Riemanna, otwierając teorię miary. W latach 20. XXI wieku dziedzina ta jest dalej rozwijana; poświęcono jej m.in. publikowany w USA dwurocznik „Real Analysis Exchange”[8] oraz osobne katedry[9][10].

Rozwinięciem analizy rzeczywistej są:

Analiza rzeczywista w Polsce

 Z tym tematem związana jest kategoria: Analiza rzeczywista – polscy naukowcy.

W Polsce analizą rzeczywistą zajmowali się między innymi:

Przypisy

  1. ↑ Penrose 2004 ↓, s. 378.
  2. ↑ publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Discontinuity point (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-02-23].
  3. ↑ Kaczor i Nowak 2001 ↓, s. 13.
  4. ↑ Schinzel 1976 ↓, s. 44.
  5. ↑ publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Michał Krych, Funkcja Γ Eulera, mimuw.edu.pl [dostęp 2023-02-22].
  6. ↑ MichałM. Tarnowski MichałM., Reguła znaków Kartezjusza, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, czerwiec 2023, ISSN 0137-3005 [dostęp 2023-08-06]  (pol.).
  7. ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Flint Hills Series, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
  8. ↑ publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Real Analysis Exchange, Michigan State University Press, msupress.org [dostęp 2023-02-06].
  9. ↑ publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Katedra Funkcji Rzeczywistych, Uniwersytet Łódzki, uni.lodz.pl [dostęp 2023-02-15].
  10. ↑ publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Katedra Funkcji Rzeczywistych i Algebry, Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy, algebra.ukw.edu.pl [dostęp 2023-02-15].

Bibliografia

Literatura

Zobacz publikację
Analiza rzeczywista w Wikibooks
Polskojęzyczna
  • Stanisław Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, seria „Biblioteka Matematyczna”, tom 46.
  • Roman Sikorski, Funkcje rzeczywiste, tom I i II, seria „Monografie Matematyczne” (1957 i 1959).
  • Walter Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, ISBN 978-83-0115801-9.
  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Marian Gewert i Zbigniew Skoczylas, Przykłady i kontrprzykłady z analizy matematycznej, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2021, ISBN 978-83-62780-66-2; gis.wroc.pl [dostęp 2023-10-26].
Anglojęzyczna
  • Bernard R. Gelbaum, John M.H. Olmsted, Counterexamples in Analysis, Dover Publications, 2003, ISBN 978-048642875-8.

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Real Analysis, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-02-06].
  • p
  • d
  • e
podstawowe
  • analiza rzeczywista
    • rachunek różniczkowy i całkowy
  • analiza wielowymiarowa
  • analiza wektorowa
zaawansowane
powiązane dyscypliny
  • p
  • d
  • e
Działy matematyki
działy
ogólne
według trudności
według celu
inne
działy
czyste
algebra
analiza
matematyczna
arytmetyka
geometria
matematyka
dyskretna
podstawy
teoria układów
dynamicznych
topologia
pozostałe
działy
stosowane
nauki przyrodnicze
nauki społeczne
nauki techniczne
statystyka
matematyczna
inne
powiązane
dyscypliny
ściśle naukowe
inne