Wykres funkcji rzeczywistej oraz jej transformaty Fouriera Transformacja Fouriera – pewien operator liniowy określany na pewnych przestrzeniach funkcyjnych, elementami których mogą być funkcje n {\displaystyle n} Jeana Baptiste’a Josepha Fouriera . Wynikiem transformacji Fouriera jest funkcja nazywana transformatą Fouriera .
Definicje podstawowe Transformatę Fouriera[1] f ∈ L 1 ( R n ) {\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})} L 1 ( R n ) {\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})} przestrzenią wektorową funkcji całkowalnych na R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
f ^ ( ξ ) = ∫ R n f ( x ) e − 2 π i ( x , ξ ) d x , {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\ e^{-2\pi i(x,\xi )}\,dx,} gdzie i {\displaystyle i} ( i 2 = − 1 ) , {\displaystyle (i^{2}=-1),} ( x , ξ ) {\displaystyle (x,\xi )} x , ξ ∈ R n . {\displaystyle x,\xi \in \mathbb {R} ^{n}.} F , {\displaystyle {\mathcal {F}},} f ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )} F [ f ( x ) ] ( ξ ) . {\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f(x)\right](\xi ).}
Transformata f ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )} f ^ ∈ L ∞ ( R n ) {\displaystyle {\hat {f}}\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} twierdzenia Riemanna-Lebesgue’a ).
W przypadku gdy funkcja f {\displaystyle f} f ∈ L 1 ( R n ) ∩ L 2 ( R n ) {\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})} f ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}
F : L 1 ( R n ) ∩ L 2 ( R n ) → L 2 ( R n ) . {\displaystyle {\mathcal {F}}:L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n}).} Twierdzenie Plancherela wówczas mówi, że odwzorowanie to przedłuża się do izometrii przestrzeni L 2 ( R n ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})} całki niewłaściwej zbieżnej:
f ^ ( ξ ) = lim T → + ∞ ∫ − T T f ( x ) e − 2 π i x ξ d x . {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\lim _{T\to +\infty }\int \limits _{-T}^{T}f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx.} Często przestrzeń L 1 ( R n ) {\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})} S ( R n ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})} pochodnej cząstkowej i dowolnego wielomianu jest funkcją ograniczoną na R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.} S ( R n ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}
W praktyce, często zmienna x {\displaystyle x} czas (w sekundach), a argument transformaty ξ {\displaystyle \xi } częstotliwość (w Hz=1/s). Funkcja f ∈ L 2 ( R 1 ) {\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{1})} f ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )} transformację odwrotną :
f ( x ) = lim T → + ∞ ∫ − T T f ^ ( ξ ) e 2 π i x ξ d ξ . {\displaystyle f(x)=\lim _{T\to +\infty }\int \limits _{-T}^{T}{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi ix\xi }\,d\xi .} Alternatywne definicje Stosowane są także inne definicje transformacji Fouriera.
1. Transformacja z dziedziny czasu t {\displaystyle t} ω : {\displaystyle \omega {:}}
f ^ ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt} i transformacja odwrotna:
f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ^ ( ω ) e i ω t d ω , {\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega t}d\omega ,} gdzie:
f ( t ) {\displaystyle f(t)} f ^ ( ω ) {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )} ω = 2 π T = 2 π ν {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}={2\pi }\nu } częstotliwości oscylacji ν . {\displaystyle \nu .} 2. Unitarna transformacja z dziedziny czasu t {\displaystyle t} ω : {\displaystyle \omega {:}}
f ^ ( ω ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt} i transformacja odwrotna:
f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ^ ( ω ) e i ω t d ω . {\displaystyle f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega t}d\omega .} Komentarz Czynnik 1 2 π {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}} 1 2 π {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}} Jeżeli jednak czynnik wynosi 1 2 π , {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},} L 2 ( R ) . {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ).} Pierwsza z dwu powyższych definicji jest popularniejsza, nie posiada jednak własności unitarności . Interpretacja i związek z transformatą Laplace’a W analizie Fouriera, krzywe harmoniczne sinus i cosinus (z wzoru Eulera mamy bowiem e i x = cos x + i sin x , {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,} szereg Fouriera ) mnożone są przez sygnał i wynikowe całkowanie dostarcza wskazówki na temat sygnału obecnego dla danej częstotliwości (na przykład energii sygnału dla danego punktu w dziedzinie częstotliwości, zob. też widmo sygnału ).
Podobne działanie, ale o bardziej ogólnym charakterze wykonuje transformacja ‘s’ (powszechnie określana mianem transformacji Laplace’a ). Funkcja rzeczywista czasu może być przetransformowana na płaszczyznę S poprzez scałkowanie iloczynu takiej funkcji z wyrażaniem e − s t {\displaystyle e^{-st}} − ∞ {\displaystyle -\infty } ∞ , {\displaystyle \infty ,} s {\displaystyle s} liczbą zespoloną .
∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − s t d t . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.} Wyrażenie e − s t {\displaystyle e^{-st}} e − t . {\displaystyle e^{-t}.} przebiegi częstotliwościowe , ale także efekty o charakterze zaniku. Na przykład krzywa sinusoidalna tłumiona może być odpowiednio zamodelowana za pomocą transformacji ‘s’. Transformata Laplace’a stanowi więc uogólnienie transformacji Fouriera. Ściślej przekształcenie Fouriera stanowi szczególny przypadek przekształcenia Laplace’a dla s = i ω . {\displaystyle s=i\omega .} transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera .
Własności transformaty Fouriera W przypadku jednowymiarowym funkcja f {\displaystyle f} L 1 , {\displaystyle L^{1},} ( − ∞ , ∞ ) . {\displaystyle (-\infty ,\infty ).} f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} funkcją ciągłą . Nie musi natomiast być całkowalna w R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.} Jeśli g ( x ) = f ( x − α ) , {\displaystyle g(x)=f(x-\alpha ),} g ^ ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ g ( x ) e − 2 π i x ξ d x = ∫ − ∞ ∞ f ( x − α ) e − 2 π i ( x − α ) ξ e − 2 π i α ξ d x = e − 2 π i α ξ ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − 2 π i t ξ d t = e − 2 π i α ξ f ^ ( ξ ) . {\displaystyle {\hat {g}}(\xi )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x-\alpha )\ e^{-2\pi i(x-\alpha )\xi }e^{-2\pi i\alpha \xi }\,dx=e^{-2\pi i\alpha \xi }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-2\pi it\xi }\,dt=e^{-2\pi i\alpha \xi }{\hat {f}}(\xi ).} Jeśli α ≠ 0 {\displaystyle \alpha \neq 0} g ( t ) = f ( t α ) , {\displaystyle g(t)=f\left({\frac {t}{\alpha }}\right),} g ^ ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ g ( x ) e − 2 π i x ξ d x = ∫ − ∞ ∞ f ( x α ) e − 2 π i x α ( α ξ ) α d ( x α ) = α ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − 2 π i t ( α ξ ) d t = α f ^ ( α ξ ) . {\displaystyle {\hat {g}}(\xi )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f\left({\frac {x}{\alpha }}\right)\ e^{-2\pi i{\frac {x}{\alpha }}(\alpha \xi )}\alpha \,d\left({\frac {x}{\alpha }}\right)=\alpha \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-2\pi it(\alpha \xi )}\,dt=\alpha {\hat {f}}(\alpha \xi ).} f ∗ g ^ = 2 π f ^ g ^ , {\displaystyle {\widehat {f*g}}={\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}{\hat {g}},} ∗ {\displaystyle *} Jeśli pochodna funkcji f {\displaystyle f} L 1 {\displaystyle L^{1}} całkowania przez części wynika, że: f ′ ^ ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ f ′ ( x ) e − 2 π i x ξ d x = f ( x ) e − 2 π i x ξ | − ∞ ∞ + 2 π i ξ ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x = 2 π i ξ f ^ ( ξ ) . {\displaystyle {\hat {f'}}(\xi )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f'(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx=f(x)e^{-2\pi ix\xi }{\Big |}_{-\infty }^{\infty }+2\pi i\xi \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx=2\pi i\xi {\hat {f}}(\xi ).} Właściwości transformat Funkcja Transformata Fouriera Transformata Fouriera Transformata Fouriera Uwagi f ( x ) {\displaystyle f(x)} f ^ ( ξ ) = {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=} ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx}
f ^ ( ω ) = {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=} 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i ω x d x {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx} f ^ ( ν ) = {\displaystyle {\hat {f}}(\nu )=} ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i ν x d x {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx}
101 a ⋅ f ( x ) + b ⋅ g ( x ) {\displaystyle a\cdot f(x)+b\cdot g(x)} a ⋅ f ^ ( ξ ) + b ⋅ g ^ ( ξ ) {\displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\xi )+b\cdot {\hat {g}}(\xi )} a ⋅ f ^ ( ω ) + b ⋅ g ^ ( ω ) {\displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\omega )+b\cdot {\hat {g}}(\omega )} a ⋅ f ^ ( ν ) + b ⋅ g ^ ( ν ) {\displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\nu )+b\cdot {\hat {g}}(\nu )} Liniowość 102 f ( x − a ) {\displaystyle f(x-a)} e − 2 π i a ξ f ^ ( ξ ) {\displaystyle e^{-2\pi ia\xi }{\hat {f}}(\xi )} e − i a ω f ^ ( ω ) {\displaystyle e^{-ia\omega }{\hat {f}}(\omega )} e − i a ν f ^ ( ν ) {\displaystyle e^{-ia\nu }{\hat {f}}(\nu )} Przesunięcie oryginału w dziedzinie „czasu” 103 e 2 π i a x f ( x ) {\displaystyle e^{2\pi iax}f(x)} f ^ ( ξ − a ) {\displaystyle {\hat {f}}\left(\xi -a\right)} f ^ ( ω − 2 π a ) {\displaystyle {\hat {f}}(\omega -2\pi a)} f ^ ( ν − 2 π a ) {\displaystyle {\hat {f}}(\nu -2\pi a)} Przesunięcie widma w dziedzinie częstotliwości, dualne względem 102 104 f ( a x ) {\displaystyle f(ax)} 1 | a | f ^ ( ξ a ) {\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right)} 1 | a | f ^ ( ω a ) {\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)} 1 | a | f ^ ( ν a ) {\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\nu }{a}}\right)} Dla dużych wartości | a | , {\displaystyle |a|,} f ( a x ) {\displaystyle f(ax)} 1 | a | f ^ ( ω a ) {\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)} 105 106 d n f ( x ) d x n {\displaystyle {\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}} ( 2 π i ξ ) n f ^ ( ξ ) {\displaystyle (2\pi i\xi )^{n}{\hat {f}}(\xi )} ( i ω ) n f ^ ( ω ) {\displaystyle (i\omega )^{n}{\hat {f}}(\omega )} ( i ν ) n f ^ ( ν ) {\displaystyle (i\nu )^{n}{\hat {f}}(\nu )} Transformata pochodnej 107 x n f ( x ) {\displaystyle x^{n}f(x)} ( i 2 π ) n d n f ^ ( ξ ) d ξ n {\displaystyle \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\xi )}{d\xi ^{n}}}} i n d n f ^ ( ω ) d ω n {\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}} i n d n f ^ ( ν ) d ν n {\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\nu )}{d\nu ^{n}}}} Ta właściwość jest dualna względem 106 108 ( f ∗ g ) ( x ) {\displaystyle (f*g)(x)} f ^ ( ξ ) g ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {f}}(\xi ){\hat {g}}(\xi )} 2 π f ^ ( ω ) g ^ ( ω ) {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}(\omega ){\hat {g}}(\omega )} f ^ ( ν ) g ^ ( ν ) {\displaystyle {\hat {f}}(\nu ){\hat {g}}(\nu )} Notacja f ∗ g {\displaystyle f*g} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} 109 f ( x ) g ( x ) {\displaystyle f(x)g(x)} ( f ^ ∗ g ^ ) ( ξ ) {\displaystyle ({\hat {f}}*{\hat {g}})(\xi )} ( f ^ ∗ g ^ ) ( ω ) 2 π {\displaystyle {\frac {({\hat {f}}*{\hat {g}})(\omega )}{\sqrt {2\pi }}}} 1 2 π ( f ^ ∗ g ^ ) ( ν ) {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}({\hat {f}}*{\hat {g}})(\nu )} Właściwość dualna względem 108 110 Dla funkcji f ( x ) {\displaystyle f(x)} parzystej f ^ ( ω ) , {\displaystyle {\hat {f}}(\omega ),} f ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )} f ^ ( ν ) {\displaystyle {\hat {f}}(\nu )} funkcjami rzeczywistymi i parzystymi . 111 Dla funkcji f ( x ) {\displaystyle f(x)} nieparzystej f ^ ( ω ) , {\displaystyle {\hat {f}}(\omega ),} f ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )} f ^ ( ν ) {\displaystyle {\hat {f}}(\nu )} funkcjami urojonymi i nieparzystymi .
Najprzydatniejsze pary transformat W przestrzeniach funkcji dobrze określonych, takich jak L 2 ( R ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )} S ( R ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}
Funkcje całkowalne z kwadratem W tabeli zestawiony jest oryginał oraz jego transformaty w dziedzinie częstotliwości i pulsacji[2]
Dystrybucje Dystrybucje, określane też jako funkcje uogólnione nie posiadają transformat w sensie określonym przez powyższe definicje. Możliwe jest jednak uogólnienie pojęcia transformaty i przyjęcie, że uzyskujemy w wyniku przejścia do granicy ciągu transformat lub wychodząc od szeregu Fouriera funkcji okresowej .
Funkcja Transformata Fouriera Transformata Fouriera Transformata Fouriera Uwagi f ( x ) {\displaystyle f(x)} f ^ ( ξ ) = {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=} ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx}
f ^ ( ω ) = {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=} 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i ω x d x {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx}
f ^ ( ν ) = {\displaystyle {\hat {f}}(\nu )=} ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i ν x d x {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx}
301 1 {\displaystyle 1} δ ( ξ ) {\displaystyle \delta (\xi )} 2 π ⋅ δ ( ω ) {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega )} 2 π δ ( ν ) {\displaystyle 2\pi \delta (\nu )} δ ( ξ ) {\displaystyle \delta (\xi )} deltę Diraca . 302 δ ( x ) {\displaystyle \delta (x)} 1 {\displaystyle 1} 1 2 π {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}} 1 {\displaystyle 1} Co wynika z zasady 301. 303 e i a x {\displaystyle e^{iax}} δ ( ξ − a 2 π ) {\displaystyle \delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)} 2 π ⋅ δ ( ω − a ) {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega -a)} 2 π δ ( ν − a ) {\displaystyle 2\pi \delta (\nu -a)} Co wynika z własności 103 i 301. 304 cos ( a x ) {\displaystyle \cos(ax)} δ ( ξ − a 2 π ) + δ ( ξ + a 2 π ) 2 {\displaystyle {\frac {\displaystyle \delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)+\delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}}} 2 π ⋅ δ ( ω − a ) + δ ( ω + a ) 2 {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}} π ( δ ( ν − a ) + δ ( ν + a ) ) {\displaystyle \pi \left(\delta (\nu -a)+\delta (\nu +a)\right)} Co wynika ze 101 i 303 przy zastosowaniu wzoru Eulera : cos ( a x ) = ( e i a x + e − i a x ) / 2. {\displaystyle \cos(ax)=(e^{iax}+e^{-iax})/2.} 305 sin ( a x ) {\displaystyle \sin(ax)} δ ( ξ + a 2 π ) − δ ( ξ − a 2 π ) 2 i {\displaystyle {\frac {\displaystyle \delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)-\delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2i}}} 2 π ⋅ δ ( ω + a ) − δ ( ω − a ) 2 i {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {\delta (\omega +a)-\delta (\omega -a)}{2i}}} − i π ( δ ( ν + a ) − δ ( ν − a ) ) {\displaystyle -i\pi \left(\delta (\nu +a)-\delta (\nu -a)\right)} Co wynika ze 101 i 303, przy zastosowaniu sin ( a x ) = ( e i a x − e − i a x ) / ( 2 i ) . {\displaystyle \sin(ax)=(e^{iax}-e^{-iax})/(2i).} 306 cos ( a x 2 ) {\displaystyle \cos(ax^{2})} π a cos ( π 2 ξ 2 a − π 4 ) {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)} 1 2 a cos ( ω 2 4 a − π 4 ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)} π a cos ( ν 2 4 a − π 4 ) {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\nu ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)} 307 sin ( a x 2 ) {\displaystyle \sin(ax^{2})} − π a sin ( π 2 ξ 2 a − π 4 ) {\displaystyle -{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)} − 1 2 a sin ( ω 2 4 a − π 4 ) {\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {2a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)} − π a sin ( ν 2 4 a − π 4 ) {\displaystyle -{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\nu ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)} 308 x n {\displaystyle x^{n}} ( i 2 π ) n δ ( n ) ( ξ ) {\displaystyle \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(\xi )} i n 2 π δ ( n ) ( ω ) {\displaystyle i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )} 2 π i n δ ( n ) ( ν ) {\displaystyle 2\pi i^{n}\delta ^{(n)}(\nu )} Gdzie n {\displaystyle n} liczbą naturalną a δ ( n ) ( ξ ) {\displaystyle \delta ^{(n)}(\xi )} n {\displaystyle n} wielomiany . 309 1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}} − i π sgn ( ξ ) {\displaystyle -i\pi \operatorname {sgn}(\xi )} − i π 2 sgn ( ω ) {\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )} − i π sgn ( ν ) {\displaystyle -i\pi \operatorname {sgn}(\nu )} Gdzie sgn ( ξ ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(\xi )} funkcja znaku . Zauważmy, że 1 / x {\displaystyle 1/x} 310 1 x n {\displaystyle {\frac {1}{x^{n}}}} − i π ( − 2 π i ξ ) n − 1 ( n − 1 ) ! sgn ( ξ ) {\displaystyle -i\pi {\frac {(-2\pi i\xi )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\xi )} − i π 2 ⋅ ( − i ω ) n − 1 ( n − 1 ) ! sgn ( ω ) {\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )} − i π ( − i ν ) n − 1 ( n − 1 ) ! sgn ( ν ) {\displaystyle -i\pi {\frac {(-i\nu )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\nu )} Uogólnienie 309. 311 1 | x | {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|x|}}}} 1 | ξ | {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|\xi |}}}} 1 | ω | {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|\omega |}}}} 2 π | ν | {\displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{\sqrt {|\nu |}}}} 312 sgn ( x ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)} 1 i π ξ {\displaystyle {\frac {1}{i\pi \xi }}} 2 π ⋅ 1 i ω {\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {1}{i\omega }}} 2 i ν {\displaystyle {\frac {2}{i\nu }}} Dualne do 309. 313 H ( x ) {\displaystyle H(x)} 1 2 ( 1 i π ξ + δ ( ξ ) ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{i\pi \xi }}+\delta (\xi )\right)} π 2 ( 1 i π ω + δ ( ω ) ) {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)} π ( 1 i π ν + δ ( ν ) ) {\displaystyle \pi \left({\frac {1}{i\pi \nu }}+\delta (\nu )\right)} Funkcja H ( x ) {\displaystyle H(x)} 314 ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)} 1 T ∑ k = − ∞ ∞ δ ( ξ − k T ) {\displaystyle {\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\xi -{\frac {k}{T}}\right)} 2 π T ∑ k = − ∞ ∞ δ ( ω − 2 π k T ) {\displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{T}}\right)} 2 π T ∑ k = − ∞ ∞ δ ( ν − 2 π k T ) {\displaystyle {\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\nu -{\frac {2\pi k}{T}}\right)} Funkcja grzebieniowa . Do wyznaczenia z 302 i 102, wraz z faktem, że ∑ n = − ∞ ∞ e i n x = ∑ k = − ∞ ∞ δ ( x + 2 π k ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (x+2\pi k)} 315 J 0 ( x ) {\displaystyle J_{0}(x)} 2 rect ( π ξ ) 1 − 4 π 2 ξ 2 {\displaystyle {\frac {2\,\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}} 2 π ⋅ rect ( ω 2 ) 1 − ω 2 {\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}} 2 rect ( ν 2 ) 1 − ν 2 {\displaystyle {\frac {2\,\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {1-\nu ^{2}}}}} J 0 ( x ) {\displaystyle J_{0}(x)} funkcją Bessela pierwszego rodzaju, rzędu zerowego. 316 J n ( x ) {\displaystyle J_{n}(x)} 2 ( − i ) n T n ( 2 π ξ ) rect ( π ξ ) 1 − 4 π 2 ξ 2 {\displaystyle {\frac {2(-i)^{n}T_{n}(2\pi \xi )\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}} 2 π ( − i ) n T n ( ω ) rect ( ω 2 ) 1 − ω 2 {\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}} 2 ( − i ) n T n ( ν ) rect ( ν 2 ) 1 − ν 2 {\displaystyle {\frac {2(-i)^{n}T_{n}(\nu )\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {1-\nu ^{2}}}}} Uogólnienie 315. Funkcja J n ( x ) {\displaystyle J_{n}(x)} n {\displaystyle n} T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)}
Zastosowanie dla potrzeb przetwarzania sygnałów Zależność określającą transmitancję widmową H ( j ω ) {\displaystyle H(j\omega )}
Pojedyncza zespolona składowa harmoniczna o amplitudzie A w e , {\displaystyle A_{we},} pulsacji ω {\displaystyle \omega } p w e {\displaystyle p_{we}}
x ( t ) = A w e e j ( ω t + p w e ) , {\displaystyle x(t)=A_{we}e^{j(\omega t+p_{we})},} (gdzie j {\displaystyle j} jednostkę urojoną ), generuje odpowiedź na wyjściu układu w postaci sygnału sinusoidalnego o amplitudzie A w y {\displaystyle A_{wy}} fazie p w y : {\displaystyle p_{wy}{:}}
y ( t ) = A w y e j ( ω t + p w y ) . {\displaystyle y(t)=A_{wy}e^{j(\omega t+p_{wy})}.} Warto zwrócić uwagę na fakt, że częstotliwość ω {\displaystyle \omega } H ( j ω ) {\displaystyle H(j\omega )} ω {\displaystyle \omega }
A w y A w e = | H ( j ω ) | , {\displaystyle {\frac {A_{wy}}{A_{we}}}=|H(j\omega )|,} a argument tej transmitancji opisuje przesunięcie fazowe wprowadzane przez układ:
p w y − p w e = arg ( H ( j ω ) ) . {\displaystyle p_{wy}-p_{we}=\arg(H(j\omega )).} Transmitancja H ( j ω ) {\displaystyle H(j\omega )}
Dla przypadku układów dyskretnych wyrażenie
y ( i ) u ( i ) = z − k B ( z − 1 ) A ( z − 1 ) | z = e j ω T p = K ( e − j ω T p ) {\displaystyle {\frac {y(i)}{u(i)}}=z^{-k}{\frac {B(z^{-1})}{A(z^{-1})}}|_{z=e^{j\omega T_{p}}}=K(e^{-j\omega T_{p}})} definiuje dyskretną transmitancję widmową .
Zobacz też Przypisy ↑ Hanna Marcinkowska: Dystrybucje, przestrzenie Sobolewa, równania różniczkowe . PWN, 1993, s. 56–60. ISBN 83-01-10864-9 . ↑ David W. D.W. Kammler David W. D.W. , A First Course in Fourier Analysis , Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2000, ISBN 0-13-578782-3 , OCLC 43118245 .brak strony (książka) Linki zewnętrzne Zobacz multimedia związane z tematem: Transformacja Fouriera
Polskojęzyczne Materiały dydaktyczne DSP AGH. dsp.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-12-17)]. Anglojęzyczne Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Fourier Transform , [w:] MathWorld , Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang. ) .Interaktywne wprowadzenie do transformacji Fouriera [Angielski z animacjami] 3blue1brown , YouTube , 26 stycznia 2018 [dostęp 2021-03-15].F is for Fourier Transform (ang. ) , Oxford University Mathematical Institute , maths.ox.ac.uk, 19 sierpnia 2022 [dostęp 2023-05-29].transformacje całkowe inne transformacje w rachunku prawdopodobieństwa
.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bf79bacae461484b437e6fafef2c1863bf844fa)
Osobny artykuł: Transformacja Laplace’a.
Grant Sanderson, But what is the Fourier Transform? A visual introduction, kanał 3blue1brown, YouTube, 26 stycznia 2018 [dostęp 2021-03-15].
