Twierdzenie Rademachera

Twierdzenia Rademachera – twierdzenie mówiące o różniczkowalności prawie wszędzie funkcji wielu zmiennych, spełniających warunek Lipschitza^[1]. Twierdzenie zostało po raz pierwszy sformułowane i udowodnione w 1919^[2].

Twierdzenie

Jeżeli funkcja ${\displaystyle f\colon U\to \mathbf {R} }$ spełnia w zbiorze otwartym ${\displaystyle U\subseteq \mathbf {R} ^{n}}$ warunek Lipschitza ze stałą ${\displaystyle M>0}$

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leqslant M\|x-y\|\quad {\text{dla}}\quad x,y\in U,}$

to posiada różniczkę prawie wszędzie w ${\displaystyle U.}$

Uwagi

1) Oczywiście z faktu, że twierdzenie jest prawdziwe dla funkcji rzeczywistej (o wartościach w zbiorze ${\displaystyle \mathbf {R} }$) łatwo wnioskuje się, że jest ono prawdziwe dla funkcji o wartościach w przestrzeni wektorowej ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}.}$ Wynika to z faktu, że funkcja ${\displaystyle f\colon U\to \mathbf {R} ^{n}}$ spełnia warunek Lipschita ⇔ każda składowa ${\displaystyle f_{k}\colon U\to \mathbf {R} }$ funkcji ${\displaystyle f=(f_{1},\dots ,f_{n})}$ spełnia warunek Lipschitza.

2) W twierdzeniu wystarczy założyć tylko spełnianie lokalnego warunku Lipschitza. Stała ${\displaystyle M>0}$ nie musi być globalna dla całego zbioru ${\displaystyle U.}$

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Rademacher theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-26].