Funkcja półciągła

Półciągłość – własność funkcji określonych w przestrzeniach metryczych o wartościach rzeczywistych, słabsza od ciągłości.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle (X,\varrho )}$ będzie przestrzenią metryczną, ${\displaystyle x_{0}\in X}$ oraz niech dana będzie funkcja

${\displaystyle f\colon X\to {\overline {\mathbb {R} }}.}$

Funkcja ${\displaystyle f}$ jest:

• półciągła z dołu w punkcie ${\displaystyle x_{0},}$ gdy

${\displaystyle \liminf _{\varrho (x,x_{0})\to 0}f(x)\geqslant f(x_{0}),}$

• półciągła z góry w punkcie ${\displaystyle x_{0},}$ gdy

${\displaystyle \limsup _{\varrho (x,x_{0})\to 0}f(x)\leqslant f(x_{0}).}$

Funkcja ${\displaystyle f}$ jest półciągła z góry bądź z dołu w zbiorze ${\displaystyle D\subseteq X,}$ gdy jest półciągła z góry bądź z dołu w każdym punkcie zbioru ${\displaystyle D.}$

Równoczesna połciągłość z góry i z dołu funkcji jest równoważna warunkowi

${\displaystyle \lim _{\varrho (x,x_{0})\to 0}f(x)=f(x_{0}),}$

a zatem ciągłości funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle x_{0}.}$ Z własności granic wynika, że ${\displaystyle f}$ jest półciągła z góry w ${\displaystyle x_{0}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle -f}$ jest półciągła z dołu w ${\displaystyle x_{0}.}$

Rozważa się też funkcje półciągłe z góry/z dołu w niemetrycznych przestrzeniach topologicznych.

Warunki równoważne

Pod powyższymi założeniami następujące warunki są równoważne półciągłości z dołu funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle x_{0}.}$ Warunki równoważne półciągłości z góry formułuje się analogicznie.

• jeśli ${\displaystyle x_{n}\to x_{0}}$ oraz ${\displaystyle f(x_{n})\to \lambda ,}$ to ${\displaystyle \lambda \geqslant f(x_{0}),}$
• jeśli ${\displaystyle x_{n}\to x_{0},}$ to

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }f(x_{n})\geqslant f(x_{0}),}$

• jeśli ${\displaystyle x_{0}}$ jest punktem skupienia przestrzeni ${\displaystyle X,}$ to

${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geqslant f(x_{0}),}$

• dla każdego ${\displaystyle a<f(x_{0})}$ istnieje takie ${\displaystyle \delta >0,}$ że

${\displaystyle \varrho (x,x_{0})<\delta \Rightarrow a<f(x).}$

Definicję półciągłości rozszerza się czasami na dowolne przestrzenie topologiczne w następujący sposób.

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią topologiczną oraz ${\displaystyle x_{0}\in X.}$ Funkcja

${\displaystyle f\colon X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

jest półciągła z dołu (odpowiednio: z góry) w punkcie ${\displaystyle x_{0},}$ gdy dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje takie otoczenie otwarte ${\displaystyle U}$ punktu ${\displaystyle x_{0},}$ że ${\displaystyle f(x)\geqslant f(x_{0})-\varepsilon }$ (odpowiednio: ${\displaystyle f(x)\leqslant f(x_{0})+\varepsilon }$) dla każedgo ${\displaystyle x\in U.}$

Własności

• Kombinacja stożkowa funkcji półciągłych z dołu jest półciągła z dołu.
• Iloczyn nieujemnych funkcji półciągłych z dołu jest półciągły z dołu.
• Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa: Funkcja półciągła z dołu w przestrzeni zwartej osiąga swoje minimum.
• Twierdzenie Baire’a^[1]: Każda funkcja półciągła z dołu w przestrzeni metrycznej ${\displaystyle X}$ jest granicą rosnącego ciągu funkcji ciągłych.

Przykłady

• Funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ dana wzorem

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{l}1,&x\geqslant 0\\-1,&x<0\end{array}}\right.}$

jest półciągła z góry w ${\displaystyle x_{0}=0.}$

• Funkcje podłoga i sufit są półciągłe odpowiednio: z góry i z dołu.
• Funkcja charakterystyczna zbioru otwartego jest półciągła z dołu.
• Funkcja charakterystyczna zbioru domkniętego jest półciągła z góry.

Przypisy

Bibliografia

• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 58–63.