Funkcja Weierstrassa

Wykres funkcji Weierstrassa w przedziale [ − 2 , 2 ] {\displaystyle [-2,2]}
Funkcja Weierstrassa z parametrami a = 0 , 5 ; {\displaystyle a=0,5;} b = 3 {\displaystyle b=3} w przedziale [ − 0 , 2 , 1 , 2 ] . {\displaystyle [-0{,}2,1{,}2].}

Funkcja Weierstrassa – pierwszy opublikowany[1] przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie[2]. Nazwa pochodzi od nazwiska odkrywcy, Karla Weierstraßa.

Tło historyczne

Wielu matematyków przełomu XVIII i XIX wieku uważało, iż wszystkie funkcje ciągłe są różniczkowalne w znaczącym podzbiorze swojej dziedziny. Francuski fizyk, André Marie Ampère, starał się nawet uzasadnić ten pogląd[3]. Sam Weierstraß przyznał, że słyszał od uczniów Riemanna, że ich nauczyciel sugerował istnienie kontrprzykładu na to przekonanie.

Prawdopodobnie (w roku 1830) Bernard Bolzano podał przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie dziedziny, lecz swojego wyniku nie opublikował[4]. W 1860 roku szwajcarski matematyk Charles Cellérier podał przykład zbliżony do pomysłu Weierstraßa.

Konstrukcja funkcji Weierstrassa

W oryginalnej publikacji[5], funkcja Weierstraßa zdefiniowana jest jako

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n cos ⁡ ( b n π x ) , {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),}

gdzie a {\displaystyle a} jest pewną liczbą z przedziału (0,1) natomiast b {\displaystyle b} jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek

a b > 1 + 3 2 π . {\displaystyle ab>1+{\tfrac {3}{2}}\pi .}

Wykres funkcji Weierstrassa

Gdy a b > 1 , {\displaystyle ab>1,} to wykres funkcji Weierstrassa jest fraktalem oraz jego wymiar Minkowskiego wynosi

2 + log ⁡ a log ⁡ b . {\displaystyle 2+{\frac {\log a}{\log b}}.}

Istnieje nierozwiązana hipoteza mówiąca, że (pod założeniem a b > 1 {\displaystyle ab>1} ) wymiar Hausdorffa wykresu funkcji Weierstrassa jest równy jego wymiarowi Minkowskiego.

Dziedzina zespolona

Znalezienie w dziedzinie zespolonej funkcji ciągłej, ale nie różniczkowalnej w żadnym punkcie jest dużo łatwiejsze. Przykładem takiej funkcji jest funkcja „sprzężenie”, tj.

z ↦ z ¯ ( z ∈ C ) . {\displaystyle z\mapsto {\overline {z}}\,\;\;(z\in \mathbb {C} ).}

Zobacz też

Zobacz multimedia związane z tematem: Funkcja Weierstrassa
  • funkcja Riemanna

Przypisy

  1. ↑ P. Du Bois-Reymond, Versuch einer Classification der willk¨urlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen, „J. Reine Angew. Math.” 79 (1875), 21–37.
  2. ↑ Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, s. 187. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
  3. ↑ A.M. Ampère, Recherche sur quelques points de la théorie des fonctions dérivées qui conduisent à une nouvelle démonstration du théorème de Taylor, et à l’expression finie des termes qu’on néglige lorsqu’on arrête cette série à un terme quelconque. „Journal de l’Ecole Polytechnique”, 6, no. 13 (1806), 148-181.
  4. ↑ B. Bolzano, K. Rychlik (Hrsg.): Funktionenlehre. Prag 1831.
  5. ↑ KarlK. Weierstrass KarlK., Abhandlungen aus der Functionenlehre, Julius Springer, Berlin, 1886 [dostęp 2017-11-26] .

Bibliografia

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Weierstrass Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
  • p
  • d
  • e
odmiany (warunki wystarczające)
uogólnienia (warunki konieczne)
twierdzenia
powiązane funkcje
inne powiązane tematy
uczeni