Funkcja jednostajnie ciągła

Jednostajna ciągłość – własność funkcji określonych między przestrzeniami metrycznymi będąca wzmocnieniem pojęcia ciągłości.

Właściwość została zdefiniowana w dziewiętnastym wieku. W 1854 Dirichlet zdefiniował teorię w jednym z wykładów, że funkcja ciągła na domkniętym przedziale jest jednostajnie ciągła, co udowodnił Heine w 1872 roku^[1].

Definicje

Niech ${\displaystyle (X,\varrho )}$ i ${\displaystyle (Y,\sigma )}$ będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech ${\displaystyle f\colon X\to Y.}$ Funkcję ${\displaystyle f}$ nazywamy jednostajnie ciągłą, gdy:

• dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje takie ${\displaystyle \delta >0,}$ że dla wszelkich ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ zachodzi nierówność ${\displaystyle \sigma (f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon ,}$ o ile tylko ${\displaystyle \varrho (x_{1},x_{2})<\delta .}$ Formalnie:

${\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x_{1},x_{2}\in X}\;\varrho (x_{1},x_{2})<\delta \Rightarrow \sigma (f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon .}$

Powyższa charakteryzacja typu Cauchy’ego ma też swój odpowiednik typu Heinego:

• dla dowolnych dwóch ciągów ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty },(y_{n})_{n=1}^{\infty }}$ zachodzi:

${\displaystyle \varrho (x_{n},y_{n})\to 0\Rightarrow \sigma (f(x_{n}),f(y_{n}))\to 0.}$

Jeżeli przestrzenią metryczną jest zbiór liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ze standardową metryką euklidesową ${\displaystyle \varrho (a,b):=|a-b|,}$ dla ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,}$ to jednostajną ciągłość funkcji ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} ,}$ gdzie ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ jest przedziałem liczb rzeczywistych, można formalnie zapisać

${\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x_{1},x_{2}\in I}\;|x_{1}-x_{2}|<\delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon .}$

Własności funkcji jednostajnie ciągłych

Warunki konieczne (konsekwencje)

• Każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła.

Dowód. Jeśli ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ jest odwzorowaniem między dwiema przestrzeniami metrycznymi ${\displaystyle (X,\varrho )}$ i ${\displaystyle (Y,\sigma ),}$ to ciągłość ${\displaystyle f}$ oznacza, że dla każdego punktu ${\displaystyle x\in X}$ i każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ takie istnieje ${\displaystyle \delta _{x,\varepsilon }>0}$ (indeks dolny przy ${\displaystyle \delta }$ oznacza, że liczba ta zależy od ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle \varepsilon }$) taka, że obraz ${\displaystyle f(K(x,\delta _{x,\varepsilon }))}$ kuli ${\displaystyle K(x,\delta _{x,\varepsilon })}$ o środku ${\displaystyle x}$ i promieniu ${\displaystyle \delta _{x,\varepsilon }}$ zawiera się w kuli o środku ${\displaystyle f(x)}$ i promieniu ${\displaystyle \varepsilon .}$ Jednostajna ciągłość ${\displaystyle f}$ oznacza, że dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje takie ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }>0,}$ że obraz ${\displaystyle f(K)}$ dowolnej kuli ${\displaystyle K}$ o promieniu ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }}$ zawiera się w kuli o promieniu ${\displaystyle \varepsilon .}$ Jednostajna ciągłość to zatem warunek silniejszy niż ciągłość.

• Jeśli ${\displaystyle (x_{n})}$ jest ciągiem Cauchy’ego elementów przestrzeni ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ jest jednostajnie ciągła, to ciąg ${\displaystyle (f(x_{n}))}$ jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni ${\displaystyle Y.}$

Dowód. Niech ${\displaystyle \varepsilon >0.}$ Na mocy jednostajnej ciągłości ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ istnieje taka liczba ${\displaystyle \delta >0,}$ że dla dowolnych ${\displaystyle x,y\in X}$ spełniających warunek ${\displaystyle \varrho (x,y)<\delta }$ zachodzi oszacowanie ${\displaystyle \sigma (f(x),f(y))<\varepsilon .}$ Skoro ${\displaystyle (x_{n})}$ jest ciągiem Cauchy’ego, to istnieje taka liczba naturalna ${\displaystyle N,}$ że dla ${\displaystyle n,k\geqslant N}$ zachodzi ${\displaystyle \varrho (x_{n},x_{k})<\delta ,}$ a zatem ${\displaystyle \sigma (f(x_{n}),f(x_{k}))<\varepsilon }$ dla ${\displaystyle n,k\geqslant N.}$ Dowodzi to, że ciąg ${\displaystyle (f(x_{n}))}$ jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle _{\square }}$

Twierdzenie to jest kryterium pozwalającym sprawdzić, czy dana funkcja nie jest jednostajnie ciągła. Np. niech ${\displaystyle f\colon (0,2)\to \mathbb {R} }$ będzie funkcją daną wzorem ${\displaystyle f(x)=1/x.}$ Wówczas ciąg ${\displaystyle (1/n)}$ jest ciągiem Cauchy’ego, jednak ${\displaystyle f(1/n)=n,}$ czyli ciąg ${\displaystyle (f(1/n))}$ nie jest ciągiem Cauchy’ego w ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Wobec powyższego ${\displaystyle f}$ nie jest jednostajnie ciągła.

• Niech ${\displaystyle (X,\varrho )}$ będzie całkowicie ograniczoną przestrzenią metryczną (np. ${\displaystyle X}$ jest ograniczonym przedziałem liczb rzeczywistych). Wówczas każda funkcja jednostajnie ciągła ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$ jest ograniczona.

Dowód. Dla ${\displaystyle \varepsilon =1}$ niech ${\displaystyle \delta >0}$ będzie takie, iż dla dowolnych ${\displaystyle x,y\in X}$ spełniających warunek ${\displaystyle \varrho (x,y)<\delta }$ zachodzi oszacowanie ${\displaystyle |f(y)-f(x)|<1.}$ Niech ${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{n}}$ będzie ciągiem kul otwartych o promieniu ${\displaystyle \delta ,}$ których suma jest równa ${\displaystyle X.}$ Niech ${\displaystyle x_{i}}$ będzie środkiem ${\displaystyle K_{i}(i\leqslant n).}$ Niech ${\displaystyle M=\max\{|f(x_{i})|\colon i\leqslant n\}.}$

Ustalmy ${\displaystyle y\in X.}$ Wówczas ${\displaystyle y\in K_{i_{y}}}$ dla pewnego ${\displaystyle i_{y}\leqslant n.}$ Ostatecznie

${\displaystyle |f(y)|=|f(y)-f(x_{i_{y}})+f(x_{i_{y}})|\leqslant 1+M,}$

co dowodzi ograniczoności ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle _{\square }}$

Warunki wystarczające

• Każda funkcja spełniająca warunek Lipschitza jest jednostajnie ciągła.

Dowód. Niech ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą ${\displaystyle L.}$ Niech ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ oraz niech dany będzie ${\displaystyle \varepsilon >0.}$ Gdy ${\displaystyle \delta =\varepsilon /L,}$ to ${\displaystyle \sigma (f(x_{1}),f(x_{2}))\leqslant L\cdot \varrho (x_{1},x_{2})\leqslant L\cdot \varepsilon /L=\varepsilon ,}$ o ile tylko ${\displaystyle \varrho (x_{1},x_{2})\leqslant \delta .}$ ${\displaystyle _{\square }}$

• Funkcja jednostajnie ciągła, która nie spełnia warunku Lipschitza to np. pierwiastek ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ na przedziale ${\displaystyle [0,1].}$

• Każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła (twierdzenie Heinego-Cantora).

• W szczególności, każda funkcja określona i ciągła na przedziale domkniętym [${\displaystyle a,b}$] jest jednostajnie ciągła. Na przedziale otwartym już tak nie musi być, na przykład funkcja ${\displaystyle f(x)=1/x}$ na przedziale (0, 1) jest ciągła, ale nie jest jednostajnie ciągła. Jeśli jednak granice funkcji na otwartych końcach przedziału istnieją, to na takim przedziale funkcja również będzie jednostajnie ciągła^{[potrzebny przypis]}.

Uogólnienie na przestrzenie liniowo-topologiczne

Niech ${\displaystyle U,V}$ będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówimy, że odzworowanie ${\displaystyle f\colon U\longrightarrow V}$ jest jednostajnie ciągłe, jeśli^{[potrzebny przypis]}:

dla każdego otoczenia ${\displaystyle B}$ zera przestrzeni ${\displaystyle V}$ istnieje otoczenie ${\displaystyle A}$ zera przestrzeni ${\displaystyle U}$ takie, że dla każdych ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in A}$ zachodzi: ${\displaystyle v_{1}-v_{2}\in A\Rightarrow f(v_{1})-f(v_{2})\in B.}$

Przypisy

Bibliografia

• J.B. Conway, Functions of One Complex Variable I (Graduate Texts in Mathematics 11). Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3, s. 25–28.
• S.C. Malik, Principles of Real Analysis, New Age International, 1982, s. 127–129.
• Kazimierz Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2020.
• Wojciech Kryszewski, Wykład analizy matematycznej, cz. 1: Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo Naukowe UMK, 2009. ISBN 978-83-231-2352-1.
• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Uniformly Continuous, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-02-07].
• Uniform continuity (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-02-07].