Funkcja logarytmiczna

Ten artykuł od 2023-08 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Funkcja logarytmiczna – każda funkcja matematyczna zdefiniowana logarytmem o ustalonej podstawie – jej argumentem jest liczba logarytmowana. Określa to wzór ${\displaystyle f(x)=\log _{a}x}$ dla pewnego ustalonego ${\displaystyle a\in (0,1)\cup (1,\infty )}$^[1]. W szczególności rzeczywista funkcja logarytmiczna jest zdefiniowana na półosi liczb dodatnich^[1]: ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} }$, gdzie ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=(0,\infty ).}$

Funkcja logarytmiczna ${\displaystyle \log _{a}x}$ jest odwrotna do funkcji wykładniczej ${\displaystyle a^{x}}$^[1], dlatego jej wykres jest osiowo symetryczny względem osi ${\displaystyle y=x}$ do wykresu danej funkcji wykładniczej. Przez to funkcje logarytmiczne mają asymptoty pionowe i jest nią zawsze oś ${\displaystyle Oy}$^[1].

Funkcje logarytmiczne są przestępne i zaliczane do funkcji elementarnych^{[potrzebny przypis]}. Najczęstsze podstawy funkcji logarytmicznych to liczby 2, 10 i e – odpowiednie funkcje są znane jako logarytm binarny, dziesiętny i naturalny.

Każde dwie funkcje logarytmiczne o różnych podstawach ${\displaystyle \log _{b}x,\;\log _{a}x}$ są do siebie proporcjonalne, więc podstawa logarytmu (o ile tylko jest liczbą większą od 1) jest w niektórych porównaniach nieistotna. Tak jest na przykład w teorii złożoności obliczeniowej przy określaniu czasu działania algorytmów w sensie asymptotycznym^{[potrzebny przypis]}.

Własności

• Dla dowolnych ${\displaystyle x,y>0}$

${\displaystyle \log _{a}xy=\log _{a}x+\log _{a}y,}$

także

${\displaystyle \log _{a}1=0.}$

• Funkcja logarytmiczna jest ściśle (silnie) monotoniczna w całej dziedzinie:
  • dla ${\displaystyle a>1}$ jest silnie rosnąca,
  • dla ${\displaystyle 0<a<1}$ jest silnie malejąca.

Stąd jest również różnowartościowa.

• Granice funkcji:
  • dla ${\displaystyle a>1\colon \quad \qquad \lim _{x\to 0}\log _{a}x=-\infty \qquad \lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=+\infty }$
  • dla ${\displaystyle 0<a<1\colon \quad \lim _{x\to 0}\log _{a}x=+\infty \qquad \lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=-\infty }$

Stąd jest nieograniczona i jest suriekcją.

• Jest różniczkowalna w całej swojej dziedzinie, jest więc także ciągła:

${\displaystyle (\log _{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}.}$

Ponadto funkcja ta nie jest parzysta ani nieparzysta, nieokresowa,

Przypisy

Zobacz w Wikiźródłach tabelę całek funkcji logarytmicznych

Zobacz publikację Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Funkcja logarytmiczna w Wikibooks

Linki zewnętrzne

• Logarithmic function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].