Regularna liczba kardynalna

Regularna liczba kardynalna – nieskończona liczba kardynalna, która nie może być przedstawiona jako suma mniej niż κ zbiorów mocy mniejszej niż κ. Nieskończone liczby kardynalne które nie są regularne nazywamy liczbami singularnymi.

W dalszej części tego artykułu zakładamy ZFC. (Bez AC, niektóre z definicji należy sformułować inaczej i niektóre stwierdzenia nie są prawdziwe).

Definicje

Pojęcia wstępne

• Liczba porządkowa ${\displaystyle \alpha }$ jest początkową liczbą porządkową jeśli ${\displaystyle \alpha }$ nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe nazywamy liczbami kardynalnymi.
• Przy założeniu ZFC, każdy zbiór A jest równoliczny z pewną liczbą kardynalna – liczba ta jest nazywana mocą zbioru A i jest oznaczana przez ${\displaystyle |A|.}$
• Skończone liczby kardynalne to liczby naturalne: 0, 1, 2, ..., a najmniejsza nieskończona liczba kardynalna to ${\displaystyle \aleph _{0},}$ moc zbioru wszystkich liczb naturalnych.
• Następnik liczby kardynalnej ${\displaystyle \kappa }$ to pierwsza liczba kardynalna większa od ${\displaystyle \kappa }$ (jest on oznaczany przez ${\displaystyle \kappa ^{+}}$).
• Kofinalność (albo współkońcowość) nieskończonej liczby kardynalnej ${\displaystyle \kappa }$ to najmniejsza liczba kardynalna ${\displaystyle \mu }$ taka, że każdy zbiór mocy ${\displaystyle \kappa }$ może być przedstawiony jako suma ${\displaystyle \mu }$ wielu zbiorów mocy mniejszej niż ${\displaystyle \kappa {:}}$

${\displaystyle \mathrm {cf} (\kappa )=\min {\Big \{}\mu \in \mathbf {CN} \colon \,\kappa =\bigcup \{A_{\alpha }\colon \,\alpha <\mu \}}$ dla pewnych zbiorów ${\displaystyle A_{\alpha }\subseteq \kappa }$ o tej własności, że dla wszystkich ${\displaystyle \alpha <\mu }$ zachodzi ${\displaystyle |A_{\alpha }|<\kappa {\Big \}}.}$

Warto zauważyć, że zdefiniowana powyżej współkońcowość liczby κ zgadza się ze współkońcowością tej liczby jako porządku liniowego:

${\displaystyle \mathrm {cf} (\kappa )=\min\{\alpha \in \mathbf {ON} {:}}$ istnieje rosnący ciąg ${\displaystyle \langle \xi _{\beta }:\beta <\alpha \rangle }$ taki że ${\displaystyle (\forall \beta <\alpha )(\xi _{\beta }<\kappa )}$ oraz ${\displaystyle (\forall \zeta <\kappa )(\exists \beta <\alpha )(\zeta <\xi _{\beta })\}.}$

Liczby regularne i liczby singularne

Niech ${\displaystyle \kappa \geqslant \aleph _{0}}$ będzie liczbą kardynalną.

Jeśli ${\displaystyle \mathrm {cf} (\kappa )=\kappa }$ to mówimy, że ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą regularną.

Jeśli ${\displaystyle \mathrm {cf} (\kappa )<\kappa }$ to mówimy, że ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą singularną.

Podstawowe własności

• ${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2}}$ są liczbami regularnymi.
• Każdy następnik kardynalny jest liczbą regularną.
• ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ jest najmniejszą liczbą singularną. Następną taką liczbą jest ${\displaystyle \aleph _{\omega +\omega }.}$
• Jeśli ${\displaystyle \alpha }$ jest graniczną liczbą porządkową, to ${\displaystyle \mathrm {cf} (\aleph _{\alpha })=\mathrm {cf} (\alpha ).}$ Zatem dla granicznych ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ jest regularną liczbą kardynalną wtedy i tylko wtedy gdy ${\displaystyle \aleph _{\alpha }=\alpha }$ jest liczbą nieosiągalną.
• Z punktu widzenia arytmetyki liczb kardynalnych, liczby regularne zachowują się całkowicie inaczej niż liczby singularne:
  • Zachowanie funkcji ${\displaystyle \kappa \mapsto 2^{\kappa }}$ dla liczb regularnych jest ograniczone jedynie przez warunek ${\displaystyle \kappa <\mathrm {cf} (2^{\kappa })}$ i przez trywialny warunek ${\displaystyle \kappa <\lambda \Rightarrow 2^{\kappa }\leqslant 2^{\lambda }.}$ Przypuśćmy mianowicie, że F jest rosnącą funkcją określoną na wszystkich regularnych liczbach kardynalnych której wartościami są nieskończone liczby kardynalne i taką, że ${\displaystyle \kappa <\mathrm {cf} (\mathbf {F} (\kappa ))}$ dla wszystkich regularnych ${\displaystyle \kappa .}$ Wówczas jest niesprzecznym z ZFC, że ${\displaystyle 2^{\kappa }=\mathbf {F} (\kappa )}$ dla wszystkich regularnych liczb kardynalnych ${\displaystyle \kappa .}$
  • Jeszcze nie rozumiemy do końca funkcji ${\displaystyle \kappa \mapsto 2^{\kappa }}$ dla liczb singularnych. Teoria PCF demonstruje nietrywialne ograniczenia zachowania tej funkcji.
    Hipoteza liczb singularnych (SCH) to zdanie stwierdzające, że dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej ${\displaystyle \kappa ,}$ jeśli ${\displaystyle 2^{\mathrm {cf} (\kappa )}<\kappa }$ to ${\displaystyle \kappa ^{\mathrm {cf} (\kappa )}=\kappa ^{+}}$. Przy założeniu SCH, potęgi liczb kardynalnych są wyznaczone przez funkcję ${\displaystyle \kappa \mapsto 2^{\kappa }}$ dla liczb regularnych. Naruszenie SCH jest związane z dużymi liczbami kardynalnymi: Z naruszenia SCH można znaleźć pewne duże liczby kardynalne w modelach wewnętrznych; a jeśli istnieją wystarczająco duże liczby kardynalne, można skonstruować modele naruszające SCH.