Wielokąt foremny

Wielokąt foremny – wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Najmniejszą możliwą liczbą boków wielokąta foremnego jest 3. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt (dwubok) foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby 0°.

Trójkąt foremny jest określany jako trójkąt równoboczny, czworokąt foremny – jako kwadrat.

Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss, który w 1801 odkrył, że ${\displaystyle n}$-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego cyrkla i linijki (tzw. konstrukcje klasyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle n}$ jest liczbą postaci ${\displaystyle 2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{s},}$ gdzie ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{s}}$ są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Twierdzenie to jest dziś znane jako twierdzenie Gaussa-Wantzela.

Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.

Wzory

Przyjęte oznaczenia:

${\displaystyle n}$ – liczba boków wielokąta foremnego,

${\displaystyle a}$ – długość jednego boku wielokąta.

• Wzór na miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:

${\displaystyle \gamma ={\frac {\pi (n-2)}{n}}\mathrm {rad} \,\!={\frac {180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}}.}$

• Wzór na miarę kąta środkowego (czyli kąt, pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):

${\displaystyle \beta ={\frac {2\pi }{n}}\mathrm {rad} \,\!={\frac {360^{\circ }}{n}}.}$

• Wzór na promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym:

${\displaystyle R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {a}{2}}\operatorname {cosec} {\frac {\pi }{n}}.}$

• Wzór na promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny:

${\displaystyle r={\frac {a}{2\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {a}{2}}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}.}$

• Wzory na długość boku wielokąta foremnego:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=2{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\\&=2R\sin {\frac {\pi }{n}}\\&=2r\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}.\end{aligned}}}$

• Wzór na obwód wielokąta foremnego:

${\displaystyle L=n\cdot a.}$

• Wzory na pole powierzchni wielokąta foremnego:

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {1}{4}}na^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}\\&={\frac {nar}{2}}\\&=nr^{2}\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}\\&=nR^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}\cos {\frac {\pi }{n}}\\&={\frac {1}{2}}nR^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}.\end{aligned}}}$

• Wzór na długości przekątnych wielokąta foremnego:

${\displaystyle d_{k}={\frac {a\sin {\frac {(k+1)\pi }{n}}}{\sin {\frac {\pi }{n}}}},}$

gdzie ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,\ 1\leqslant k\leqslant n-3.}$

• Kąt między dowolnymi sąsiednimi przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka (włącznie z bokami wychodzącymi z tego wierzchołka)

${\displaystyle \gamma ={\frac {\pi }{n}}\mathrm {rad} \,\!={\frac {180^{\circ }}{n}}.}$

Tabela wielokątów foremnych

Poniżej znajduje się lista najprostszych wielokątów foremnych.

Nazwa	Ilustracja	Liczba boków	Miara kąta wewnętrznego	Konstruowalny cyrklem i linijką?
Trójkąt równoboczny		3	${\displaystyle 60^{\circ }}$	tak
Kwadrat		4	${\displaystyle 90^{\circ }}$	tak
Pięciokąt foremny		5	${\displaystyle 108^{\circ }}$	tak
Sześciokąt foremny		6	${\displaystyle 120^{\circ }}$	tak
Siedmiokąt foremny		7	${\displaystyle {128{\tfrac {4}{7}}}^{\circ }}$	nie
Ośmiokąt foremny		8	${\displaystyle 135^{\circ }}$	tak
Dziewięciokąt foremny		9	${\displaystyle 140^{\circ }}$	nie
Dziesięciokąt foremny		10	${\displaystyle 144^{\circ }}$	tak

Zobacz też

• wzór Picka