Szereg geometryczny

Szereg geometryczny – szereg postaci

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}\;{}}$ gdzie ${\displaystyle {}\;a,q\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle a}$ jest pierwszym wyrazem szeregu geometrycznego, a ${\displaystyle q}$ – ilorazem szeregu geometrycznego.

${\displaystyle n}$-tą sumą częściową jest suma pierwszych ${\displaystyle n}$ wyrazów szeregu:

${\displaystyle S_{n}=a+aq+\ldots +aq^{n-1}=\sum _{k=1}^{n}aq^{k-1},\quad n\in \mathbb {N} .}$

Wartość ${\displaystyle n}$-tej sumy częściowej jest równa:

• ${\displaystyle S_{n}=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}}$  dla  ${\displaystyle q\neq 1,}$
• ${\displaystyle S_{n}=na}$  dla  ${\displaystyle q=1.}$

Dowód. Niech ${\displaystyle q\neq 1.}$ Wzór jest prawdziwy dla ${\displaystyle n=1,}$ bowiem ${\displaystyle S_{1}=a=a{\frac {1-q^{1}}{1-q}}.}$ Załóżmy indukcyjnie, że wzór jest prawdziwy dla ${\displaystyle n.}$ Wówczas

${\displaystyle S_{n+1}=S_{n}+aq^{n}\ \ {\stackrel {*}{=}}\ \ a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+aq^{n}=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+aq^{n}{\frac {1-q}{1-q}}=a{\frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n+1}}{1-q}}=a{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.}$

W równości oznaczonej gwiazdką „*” wykorzystaliśmy założenie indukcyjne ${\displaystyle S_{n}=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}$ Na mocy twierdzenia o indukcji matematycznej otrzymujemy prawdziwość wzoru dla dowolnego ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

Jeśli ${\displaystyle q=1,}$ to wszystkie wyrazy szeregu ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}}$ są równe ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle n}$-ta suma częściowa ma postać

${\displaystyle S_{n}=\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}=na.}$

Zbieżność szeregów geometrycznych

Szereg geometryczny ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}}$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle |q|<1}$ lub ${\displaystyle a=0.}$ Wówczas suma szeregu dana jest wzorem ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}={\frac {a}{1-q}}.}$

Dowód.

• Jeśli ${\displaystyle |q|<1,}$ to ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}={\frac {a}{1-q}},}$ gdyż ${\displaystyle q^{n}\to 0.}$
• Jeśli ${\displaystyle a=0,}$ to dla każdego ${\displaystyle n}$ zachodzi: ${\displaystyle a_{n}=0,}$ więc ${\displaystyle S_{n}=0,}$ a zatem ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=0.}$

Od teraz załóżmy, że ${\displaystyle a\neq 0.}$

• Jeśli ${\displaystyle |q|>1,}$ to ${\displaystyle {\Bigg |}{\frac {aq^{n}}{aq^{n-1}}}{\Bigg |}=|q|>1}$ i na mocy kryterium d’Alemberta szereg ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}}$ jest rozbieżny.
• Jeśli ${\displaystyle q=1,}$ to ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }an=\infty .}$
• Jeśli ${\displaystyle q=-1,}$ to wyraz ogólny szeregu ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}}$ jest postaci ${\displaystyle a(-1)^{n-1}.}$ Zatem

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}=a-a+a-a+a-a+\ldots }$

Stąd ${\displaystyle S_{n}=a,}$ gdy liczba ${\displaystyle n}$ jest nieparzysta oraz ${\displaystyle S_{n}=0,}$ gdy liczba ${\displaystyle n}$ jest parzysta. Zatem granica ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}}$ nie istnieje.

Przykład

W nieskończonym szeregu geometrycznym

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}.}$

iloraz ${\displaystyle q}$ jest równy ${\displaystyle {\frac {1}{2}},}$ zaś ${\displaystyle a_{1}=1.}$ Wobec tego zgodnie z powyższym twierdzeniem

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}=2.}$

Wynik ten obrazuje załączona grafika.

Zobacz też

• szereg funkcyjny