Liczby Sierpińskiego

Liczby Sierpińskiego – nieparzyste liczby naturalne ${\displaystyle k}$ takie, że ${\displaystyle k2^{n}+1}$ jest liczbą złożoną dla dowolnego naturalnego ${\displaystyle n}$^[1].

Zatem jeśli ${\displaystyle k}$ jest liczbą Sierpińskiego, to wszystkie liczby w poniższym zbiorze są złożone:

${\displaystyle A_{k}:=\left\{\,k2^{n}+1:n\in \mathbb {N} \,\right\}.}$

W roku 1960 Wacław Sierpiński wykazał, że istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych ${\displaystyle k}$ spełniających powyższy warunek^[1].

Problem Sierpińskiego

Problem Sierpińskiego to zagadnienie znalezienia najmniejszej liczby Sierpińskiego.

W 1962 r., John Selfridge wykazał, że 78 557 jest liczbą Sierpińskiego. Ponadto wykazał on że jeśli ${\displaystyle k=78\,557,}$ to wszystkie liczby postaci ${\displaystyle k2^{n}+1}$ posiadają rozkład na czynniki pierwsze zawarte w zbiorze ${\displaystyle \{3,5,7,13,19,37,73\}.}$ Ponadto w 1967 r. Sierpiński i Selfridge postulowali (lecz nie potrafili wykazać) iż 78 557 jest najmniejszą liczbą Sierpińskiego, a więc jest rozwiązaniem problemu Sierpińskiego. Aby to udowodnić, trzeba wykazać, że wszystkie nieparzyste liczby mniejsze od 78 557 nie są liczbami Sierpińskiego. To znaczy, że istnieje takie ${\displaystyle n}$ że ${\displaystyle k2^{n}+1}$ jest liczbą pierwszą^[2].

W listopadzie 2007 r. istniało tylko sześć liczb, które nie zostały wykluczone jako możliwe liczby Sierpińskiego i mogą stanowić rozwiązanie problemu^[3]. Seventeen or Bust, jest rozproszonym projektem obliczeniowym sprawdzającym te liczby. Jeśli projekt ten odnajdzie liczbę pierwszą właściwej postaci dla każdego z pozostałych ${\displaystyle k,}$ to problem Sierpińskiego zostanie ostatecznie rozwiązany.

Znane wyniki

Następujące ${\displaystyle k}$ zostały wykluczone przez projekt Seventeen or Bust.

Przypisy

Bibliografia

• (ang.) Louis Helm, Phil Moore, Payam Samidoost, George Goldman. Resolution of the Mixed Sierpiński Problem. „Integers: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory”. 8 (2008), #A61. [dostęp 2009-02-10]. (ang.). brak numeru strony

Linki zewnętrzne

• Seventeen or Bust (ang.)
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Sierpiński Number of the Second Kind, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-07-02].