Algebra uniwersalna

Algebra uniwersalna^[1] – dział matematyki zajmujący się badaniem ogólnych struktur algebraicznych, nazywany również w niektórych publikacjach algebrą ogólną^[2]. Algebra uniwersalna wraz z teorią kategorii stanowią matematyczne podstawy teorii specyfikacji algebraicznych. Podstawowym pojęciem algebry uniwersalnej jest pojęcie algebry (nazywanej często algebrą uniwersalną; wtedy cały dział nazywa się algebrą ogólną^[3]), zbioru A wyposażonego w pewien zbiór ${\displaystyle \Omega }$ operacji n-arnych nazywany sygnaturą. Każda struktura algebraiczna (grupoid, półgrupa, grupa, pierścień, ciało itd.) jest pewną algebrą.

Algebra

 Zobacz też: Algebra ogólna.

Niech ${\textstyle D=\operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i=0}^{n}D_{i}}$ będzie rozłączną sumą zbiorów. Elementy zbioru ${\displaystyle D}$ nazywamy symbolami i interpretujemy jako symbole działań, przy czym ${\displaystyle d_{k}\in D_{k}}$ są symbolami działań ${\displaystyle k}$-argumentowych. Algebrą nazwiemy zbiór ${\displaystyle A}$ wraz z przyporządkowaniem każdemu symbolowi ${\displaystyle d_{k}\in D_{k}}$ ${\displaystyle k}$-argumentowego działania ${\displaystyle \phi _{k}\colon A^{k}\to A.}$ Bardzo często wygodnie jest utożsamiać symbole ${\displaystyle d_{k}}$ z działaniami ${\displaystyle \phi _{k}.}$

Algebrę można zdefiniować także w następujący sposób. Parę ${\displaystyle {\mathcal {F}}=(F,\mu ),}$ gdzie ${\displaystyle F}$ jest zbiorem, a ${\displaystyle \mu \colon F\to \mathbb {N} }$ nazywa się typem algebry. Parę ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(A,F_{A})}$ nazywa się algebrą typu ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ jeśli zbiory ${\displaystyle F_{A}}$ i ${\displaystyle F}$ są równoliczne i każdemu ${\displaystyle f\in F}$ odpowiada ${\displaystyle f_{A}\in F_{A}}$ taki, że ${\displaystyle f_{A}\colon A^{\mu (f)}\to A.}$ Element ${\displaystyle f_{A}}$ nazywa się działaniem lub operacją ${\displaystyle \mu (f)}$-argumentową.

Przykłady algebr

Półgrupa

Algebrę ${\displaystyle G}$ w której ${\displaystyle D_{0}=\emptyset ,\ D_{1}=\emptyset ,\ D_{2}=\{\circ \},}$ a ponadto działanie ${\displaystyle \circ }$ jest łączne, tzn. dla każdych ${\displaystyle a,b,c\in G}$ zachodzi

${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}$

nazywa się półgrupą.

Grupa

Algebrę ${\displaystyle G}$ w której ${\displaystyle D_{0}=\{e\},\ D_{1}=\{^{-1}\},\ D_{2}=\{\circ \},}$ działanie ${\displaystyle \circ }$ jest łączne, a ponadto dla każdego ${\displaystyle a\in G}$

${\displaystyle a\circ e=a,}$

${\displaystyle a\circ a^{-1}=e}$

nazywa się grupą.

Krata

Krata to algebra ${\displaystyle A}$ w której ${\displaystyle D_{0}=\emptyset ,\ D_{1}=\emptyset \ D_{2}=\{\lor ,\land \},}$ a ponadto dla każdych ${\displaystyle x,y,z\in A}$

1.	${\displaystyle x\land x=x}$	${\displaystyle x\lor x=x}$
2.	${\displaystyle (x\land y)\land z=x\land (y\land z)}$	${\displaystyle (x\lor y)\lor z=x\lor (y\lor z)}$
3.	${\displaystyle x\land y=y\land x}$	${\displaystyle x\lor y=y\lor x}$
4.	${\displaystyle (x\land y)\lor y=y}$	${\displaystyle (x\lor y)\land y=y}$

Podalgebra

Podalgebrą algebry ${\displaystyle A}$ z działaniami ${\displaystyle F_{A}}$ nazywa się niepusty zbiór ${\displaystyle B\subseteq A}$ taki, że dla każdego działania ${\displaystyle \phi \in F_{A}}$ obcięcie ${\displaystyle \phi |_{B}}$ jest działaniem w ${\displaystyle B.}$

Kongruencje

Relację równoważności ${\displaystyle \equiv }$ w algebrze ${\displaystyle A}$ nazywa się kongruencją jeśli dla każdego ${\displaystyle d_{k}\in D_{k}}$ i dla każdych ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}\in A}$

${\displaystyle x_{1}\equiv y_{1}\wedge x_{2}\equiv y_{2}\wedge \ldots \wedge x_{k}\equiv y_{k}\Rightarrow d_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})\equiv d_{k}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{k}).}$

Algebra ilorazowa

 Zobacz też: Zbiór ilorazowy.

Mając kongruencję ${\displaystyle \equiv }$ w algebrze ${\displaystyle A}$ można skonstruować algebrę tego samego typu co ${\displaystyle A.}$ Niech ${\displaystyle A/_{\equiv }}$ będzie zbiorem ilorazowym. Definiujemy ${\displaystyle B:=A/_{\equiv }}$ oraz ${\displaystyle \phi _{\equiv }\colon B^{k}\to B}$ wzorem

${\displaystyle \phi _{\equiv }([x_{1}],[x_{2}],\dots ,[x_{k}]):=[\phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})]}$

dla ${\displaystyle k}$-argumentowego działania ${\displaystyle \phi .}$ ${\displaystyle B}$ z tak zdefiniowanymi działaniami zazywamy algebrą ilorazową. Działania ${\displaystyle \phi _{\equiv }}$ są dobrze określone, tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}.}$

Homomorfizm algebr

Homomorfizmem algebr ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ ze zbiorem symboli ${\textstyle D=\operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i=0}^{n}D_{i}}$ nazywa się funkcję ${\displaystyle \phi \colon A\to B}$ taką, że dla każdego ${\displaystyle d_{k}\in D_{k}}$ i dla każdych ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}\in A}$

${\displaystyle \phi (d_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}))=d_{k}(\phi (x_{1}),\phi (x_{2}),\dots ,\phi (x_{k})).}$

Zobacz też

• algebra

Przypisy

Bibliografia

• Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H.P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2. (monografia dostępna w sieci)
• А.Г. Курош: Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года. Wyd. 1. Наука, 1974.brak strony w książce
• Л. А. Скорняков: Элементы общей алгебры. Wyd. 1. Наука, 1983.brak strony w książce

Linki zewnętrzne

• Elementy algebry uniwersalnej
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Universal Algebra, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-01].