Ciało liczbowe

Ciało liczbowe – każde ciało będące skończonym rozszerzeniem algebraicznym ciała liczb wymiernych ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ Innymi słowy, jest to ciało zawierające ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ jako podciało oraz którego wymiar jako przestrzeni wektorowej nad ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ jest skończony.

Badanie własności ciał liczbowych jest głównym motywem algebraicznej teorii liczb.

Stopień, reprezentacja regularna, ślad i norma

Każde ciało liczbowe ${\displaystyle K}$ jest przestrzenią liniową nad ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ które jest jego podzbiorem. Wymiar tej przestrzeni oznaczamy jako ${\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]}$ i nazywamy stopniem rozszerzenia ciała ${\displaystyle K,}$ z zaznaczeniem, o ile to nie jest jasne z kontekstu, że chodzi o stopień rozszerzenia liczb wymiernych lub krótko stopień nad ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Załóżmy, że ${\displaystyle K}$ jest ciałem liczbowym o stopniu rozszerzenia (nad ${\displaystyle \mathbb {Q} }$) równym ${\displaystyle n.}$ Ponieważ ${\displaystyle K}$ jest ${\displaystyle n}$-wymiarową przestrzenią wektorową nad ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ to możemy wybrać (na ogół na wiele sposobów) bazę ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\in K}$ tej przestrzeni. Jak wiadomo z elementarnej algebry liniowej, każdy element ${\displaystyle x\in K}$ ma jednoznaczną reprezentację w tej bazie, tzn. jednoznacznie wyznaczony ciąg ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in \mathbb {Q} }$ taki, że ${\displaystyle x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\ldots +x_{n}e_{n}=x.}$ Reprezentacja regularna elementu ${\displaystyle x}$ to macierz ${\displaystyle A=\{a_{ij}\},}$ która powstaje poprzez pomnożenie go przez poszczególne elementy bazy:

${\displaystyle xe_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j},\quad a_{ij}\in \mathbb {Q} .}$

Łatwo pokazać, że dla dwóch elementów ${\displaystyle x,y\in K}$ i ich reprezentacji regularnych ${\displaystyle A(x),A(y),}$ zachodzi ${\displaystyle A(xy)=A(x)A(y),}$ tzn. mnożeniu elementów odpowiada mnożenie macierzy je reprezentujących. Ponadto można udowodnić, że niezmienniki owych macierzy, takie jak ślad i wyznacznik i wielomian charakterystyczny nie zależą od wyboru konkretnej bazy ${\displaystyle \{e_{i}\},}$ a tylko od elementu ${\displaystyle x\in K.}$ Tak więc możemy przyjąć poniższe definicje śladu i normy elementu ciała algebraicznego:

${\displaystyle Tr(x)=Tr(A(x))}$

${\displaystyle N(x)=N(A(x))}$

Trywialne wnioski z tych definicji to:

${\displaystyle Tr(x+y)=Tr(x)+Tr(y)}$

${\displaystyle Tr(\lambda x)=\lambda Tr(x)}$

${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)}$

${\displaystyle N(\lambda x)=\lambda ^{n}N(x)}$

gdzie ${\displaystyle \lambda }$ jest dowolnym elementem ${\displaystyle K,}$ zaś ${\displaystyle n=[K:\mathbb {Q} ].}$

Zobacz też

• ciało cyklotomiczne
• ciało globalne
• ciało kwadratowe
• ciało lokalne
• rozszerzenie abelowe
• teoria ciała klas
• teoria Galois
• teoria Iwasawy