Masa relatywistyczna

Masa relatywistyczna – wielkość fizyczna wprowadzana w niektórych ujęciach szczególnej teorii względności; jest tożsama, z dokładnością do czynnika (czyli ze współczynnikiem proporcjonalności) c⁻¹, z zerową (czasową) składową czterowektora energii-pędu (czteropędu) danego obiektu fizycznego. Innymi słowy jest równa, z dokładnością do czynnika ${\displaystyle c^{-2},}$ całkowitej energii tego relatywistycznego obiektu^[1][2][3].

${\displaystyle m_{r}={\frac {p_{0}}{c}}={\frac {E_{r}}{c^{2}}},}$

gdzie:

${\displaystyle m_{r}}$ – masa relatywistyczna,

${\displaystyle p_{0}}$ – zerowa (czasowa) składowa czteropędu,

${\displaystyle E_{r}}$ – energia relatywistyczna,

${\displaystyle c}$ – prędkość światła w próżni.

Masa relatywistyczna (relatywistyczna energia całkowita) jest wielkością względną – jej wartość zależy od układu odniesienia. Dlatego nie jest ona niezmiennikiem relatywistycznym. Masa relatywistyczna może zmieniać się bez żadnej zmiany w samym obiekcie fizycznym, wyłącznie przez zmianę układu odniesienia^[4][5].

Jest to więc wielkość odmienna od masy spoczynkowej, wielkości niezmienniczej i tożsamej, z dokładnością do czynnika ${\displaystyle c^{-1},}$ z niezmienniczą wartością bezwzględną (długością) czteropędu, i będącej właściwością obiektu^[3][4][6][7].

Dlatego użycie w nazwie masa relatywistyczna terminu masa może wprowadzać w błąd i być przyczyną nieporozumień^[2][3][4][8].

Masa relatywistyczna jest wielkością zachowywaną w przemianach i, w przeciwieństwie do masy spoczynkowej, addytywną, co jednak jest prostą konsekwencją zasady zachowania i addytywności relatywistycznej energii całkowitej^[9].

Wyprowadzenie wzoru

doświadczalnie

Rozważmy zderzenie dwóch kul ${\displaystyle B}$ i ${\displaystyle R}$ o tej samej masie ${\displaystyle m_{0}}$ poruszających się wzdłuż osi ${\displaystyle y}$ w przeciwnych kierunkach z prędkościami odpowiednio ${\displaystyle u_{0}}$ i ${\displaystyle -u_{0}}$ w układach odniesienia ${\displaystyle S}$ i ${\displaystyle S'.}$ Po zderzeniu kula ${\displaystyle B}$ zacznie się poruszać w ujemnym kierunku osi ${\displaystyle y}$ z prędkością ${\displaystyle -u_{0},}$ a kula ${\displaystyle R}$ w przeciwieństwie do zasad fizyki klasycznej, oprócz ruchu w dodatnim kierunku osi ${\displaystyle y,}$ także w dodatnim kierunku osi ${\displaystyle x.}$

Suma pędów obu kul przed i po zderzeniu wzdłuż osi ${\displaystyle x}$ jest taka sama i wynosi ${\displaystyle m_{0}u_{0},}$ zatem pęd jest zachowany. Jednak wzdłuż osi ${\displaystyle y{:}}$

${\displaystyle \left[p(B)_{y}+p(R)_{y}\right]_{p}=-m_{0}u_{0}+{\frac {m_{0}u_{0}}{\gamma }},}$

${\displaystyle \left[p(B)_{y}+p(R)_{y}\right]_{k}=m_{0}u_{0}-{\frac {m_{0}u_{0}}{\gamma }}.}$

Gdy ${\displaystyle \left[p(B)_{y}+p(R)_{y}\right]_{p}=\left[p(B)_{y}+p(R)_{y}\right]_{k},}$ to ${\displaystyle \gamma =1}$ co oznacza sprzeczność.

Aby pęd był zachowany także wzdłuż osi ${\displaystyle y,}$ to musimy założyć, że to masa kul się zmienia. Zatem masy są funkcjami prędkości: ${\displaystyle m(B)}$ i ${\displaystyle m(R).}$

Wtedy:

${\displaystyle m(B)u_{0}-{\frac {m(R)u_{0}}{\gamma }}=-m(B)u_{0}+{\frac {m(R)u_{0}}{\gamma }}.}$

Z tego wynika, że^[10]:

${\displaystyle m(B)={\frac {m(R)}{\gamma }}.}$

analitycznie

Zasada zachowania pędu dla zderzenia dwóch ciał o masach ${\displaystyle m_{1}}$ i ${\displaystyle m_{2}}$ poruszających się przed zderzeniem z prędkościami odpowiednio ${\displaystyle u_{1}}$ i ${\displaystyle u_{2}}$ w układzie odniesienia ${\displaystyle S}$ oraz odpowiednio ${\displaystyle +u'}$ i ${\displaystyle -u'}$ w układzie odniesienia ${\displaystyle S',}$ a po zderzeniu z tą samą prędkością ${\displaystyle v}$ sformułowana jest następująco:

${\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=(m_{1}+m_{2})v.}$

Uwzględniając relatywistyczne składanie prędkości:

${\displaystyle u_{1}={\frac {u'+v}{1+{\frac {u'v}{c^{2}}}}},}$ ${\displaystyle u_{2}={\frac {-u'+v}{1-{\frac {u'v}{c^{2}}}}}.}$

Możemy obliczyć stosunek mas obydwu ciał:

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{2}}}={\frac {1+{\frac {u'v}{c^{2}}}}{1-{\frac {u'v}{c^{2}}}}}={\frac {\sqrt {1-{\frac {u_{2}^{2}}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {u_{1}^{2}}{c^{2}}}}}}.}$

Po podstawieniu: ${\displaystyle m_{2}=m_{0},}$ ${\displaystyle u_{2}=0,}$ ${\displaystyle u_{1}=v}$ otrzymujemy^[11]:

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{0}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.}$

Wzór na masę relatywistyczną można również wyprowadzić na gruncie mechaniki klasycznej, rozważając dwa układy ${\displaystyle S}$ i ${\displaystyle S'}$ poruszające się względem siebie w przestrzeni trójwymiarowej z prędkością ${\displaystyle v_{x}}$^[12] bądź cząstkę o masie ${\displaystyle m}$ i ładunku ${\displaystyle q}$ poruszającą się z prędkością ${\displaystyle v}$ w układzie ${\displaystyle S}$ (układ ${\displaystyle S'}$ porusza się względem układu ${\displaystyle S}$ wzdłuż osi ${\displaystyle x}$ z prędkością ${\displaystyle u}$), która poddana jest działaniu pola elektrycznego ${\displaystyle E}$ i indukcji magnetycznej ${\displaystyle B}$^[13].

Obiekty o niezerowej masie spoczynkowej

Dla obiektów o niezerowej masie spoczynkowej (ciał) wprowadza się niekiedy wzór^[14]:

${\displaystyle m_{r}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma m_{0},}$

gdzie:

${\displaystyle m_{r}}$ – masa relatywistyczna,

${\displaystyle m_{0}}$ – masa spoczynkowa,

${\displaystyle v}$ – prędkość ciała względem danego układu odniesienia,

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$ – czynnik Lorentza.

Wzór ten faktycznie opisuje związek transformacyjny między energią spoczynkową ciała (energią w układzie odniesienia, w którym ciało spoczywa, dla ciał zawsze niezerową), a jego relatywistyczną energią całkowitą (sumą jego energii spoczynkowej i relatywistycznej energii kinetycznej, nietożsamej z klasyczną energią kinetyczną): ${\displaystyle E_{r}=\gamma {E_{0}}=\gamma {m_{0}}{c^{2}},}$ nie wynikający jednak ze zmian zachodzących „w ciele”, a z transformacyjnych właściwości czasoprzestrzeni (szczególnie dylatacji czasu)^[4][15]. Jedynie w układzie, w którym pęd ciała (składowe przestrzenne czteropędu) jest zerowy, relatywistyczna energia całkowita (proporcjonalna do składowej czasowej) jest równa energii spoczynkowej (proporcjonalnej do wartości bezwzględnej czteropędu i do masy spoczynkowej)^[16][17].

Dzięki użyciu pojęcia masy relatywistycznej, w miejsce masy spoczynkowej, możliwe jest pozorne utrzymanie w szczególnej teorii względności klasycznej (newtonowskiej) definicji pędu^[18][19]:

${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$ – klasyczna definicja pędu,

${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {E_{r}{\vec {v}}}{c^{2}}}}$ – relatywistyczna definicja pędu,

${\displaystyle {\vec {p}}=m_{r}{\vec {v}}}$ – relatywistyczna definicja pędu „upodobniona” do klasycznej (czyli definicja klasyczna przeniesiona do szczególnej teorii względności).

Masa relatywistyczna rośnie wraz z prędkością ciała względem danego układu odniesienia (aż do nieskończoności przy zbliżaniu się prędkości do prędkości światła w próżni), podczas gdy masa spoczynkowa pozostaje stała.

Obiekty o zerowej masie spoczynkowej

Dla obiektów o zerowej masie spoczynkowej (np. fotonów)^[20][21][22] niekiedy wprowadza się pojęcie masy relatywistycznej, jako wielkości tożsamej (co do czynnika c⁻²) z ich energią^[23], co jednak może wprowadzać w błąd, gdyż nie może być mowy o jakiejkolwiek bezwładności fotonu^[24] mimo jego niezerowego pędu^[25].

Kontrowersje i krytyka pojęcia

Koncepcja masy relatywistycznej jest dyskutowana^[26][27], krytykowana^{[2][3][4][28][29]}, broniona^[30][31][32]. Nadal występuje w wielu podręcznikach i pracach popularyzujących teorię względności^{[5][33][34][35][36][37]}. W gronie krytyków znalazł się między innymi astrofizyk teoretyczny i popularyzator Sean M. Carroll^[38].

Historyczno-matematyczna metaanaliza pojęcia masy relatywistycznej została przedstawiona w artykule^[39]. Zaproponowano w nim dziesięć równoważnych, ale nietożsamych definicji masy relatywistycznej.

Przypisy

Bibliografia

Książki

• Richard Phillips Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Feynmana wykłady z fizyki. T. 1. Cz. 1: Mechanika, szczególna teoria względności. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007. ISBN 978-83-0115012-9. ISBN 978-83-0115007-5.
• Michał Heller, Tadeusz Pabjan: Elementy filozofii przyrody. Kraków: Copernicus Center Press, 2014. ISBN 978-83-7886-065-5.
• Mieczysław Sawicki: Elementy teorii względności. Zajęcia fakultatywne w grupie matematyczno-fizycznej. Warszawa: WSiP, 1975.
• Andrzej Szymacha: Zasada względności w fizyce, [w:] Teoria względności. Warszawa: WSiP, 1980.
• Andrzej Szymacha: Szczególna teoria względności. Warszawa: Alfa, 1985. ISBN 83-7001050-4.
• Edwin F. Taylor, John Archibald Wheeler: Fizyka czasoprzestrzeni. Warszawa: PWN, 1975.
• Andrzej Trautman: Względności teoria. W: Wielka encyklopedia powszechna PWN. Wyd. I. T. 12. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969, s. 585–586.
• W.A. Ugarow: Szczególna teoria względności. Warszawa: PWN, 1985. ISBN 83-0105816-1.
• Andrzej Kajetan Wróblewski, Janusz A. Zakrzewski: Wstęp do fizyki. T. 1. Warszawa: PWN, 1984.

Strony internetowe

• Richard Phillips Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: The Feynman Lectures on Physics. California Institute of Technology, 2013. [dostęp 2018-06-25]. (ang.).

Linki zewnętrzne

• Bartłomiej Kamiński, Masa relatywistyczna – artykuł w miesięczniku „Delta”, nr 9 (556) 2020; deltami.edu.pl [dostęp 2021-02-10].
• Grzegorz Marcin Koczan, New definitions of 3D acceleration and inertial mass not violating F=MA in the Special Relativity – artykuł w czasopiśmie „Results in Physics” nr 24 (104121) 2021.
• Don Lincoln, Is relativistic mass real? (ang.), kanał Fermilabu na YouTube, 6 września 2017 [dostęp 2023-05-22].