Mechanika klasyczna

Mechanika klasyczna – dział mechaniki opisujący ruch ciał (kinematyka), wpływ oddziaływań na ruch ciał (dynamika) oraz badanie równowagi ciał materialnych (statyka)^[1]. Mechanika klasyczna oparta jest na prawach ruchu (zasadach dynamiki) sformułowanych przez Isaaca Newtona^[2], dlatego też jest ona nazywana „mechaniką Newtona” (Principia). Mechanika klasyczna wyjaśnia poprawnie zachowanie się większości ciał w naszym otoczeniu^[3].

Do końca XIX wieku była uznawana za teorię dokładną, na początku XX wieku okazała się niepoprawna w niektórych sytuacjach. W celu wyjaśnienia niezgodności powstały nowe działy mechaniki:

• mechanika relatywistyczna wraz z jej teoriami – ogólną teorią względności i szczególną teorią względności, opisujące zachowanie się obiektów poruszających się z prędkością porównywalną z prędkością światła w próżni,
• mechanika kwantowa, opisująca zachowanie się mikroskopijnych obiektów (cząsteczki, atomy, cząstki elementarne).

Wymienione teorie w pewnym sensie obalają mechanikę klasyczną, choć są zbudowane na jej bazie pojęciowej i ją uzupełniają. Mimo to mechanika klasyczna jest nadal bardzo użyteczna, ponieważ:

• jest prostsza w stosowaniu niż inne teorie,
• z pewnymi przybliżeniami może być stosowana w szerokim zakresie,
• stanowi podstawę pojęciową dla innych teorii.

Mechanika klasyczna może być używana do opisu ruchu zarówno obiektów rozmiaru makroskopowych (np. piłka, samochód), w tym obiektów astronomicznych (np. planety, galaktyki), jak i obiektów mikroskopijnej wielkości (np. cząsteczek organicznych, a nawet – w dużym przybliżeniu i w ograniczonym zakresie – do cząstek elementarnych). Przykładowo: równanie ruchu elektronu, wynikające z mechaniki klasycznej, poprawnie opisuje działanie mikroskopu elektronowego; dopiero do wyjaśnienia ograniczeń rozdzielczości tego mikroskopu potrzeba odwołania do mechaniki kwantowej, a wyjaśnienie działania mikroskopu elektronowego z użyciem samych pojęć mechaniki kwantowej byłoby trudne.

W ostatnich latach wzrastającym zainteresowaniem cieszy się dział mechaniki klasycznej o nazwie dynamika nieliniowa. Kluczowym pojęciem jest tu chaos, a głównym narzędziem – nieliniowe równania różniczkowe i iteracyjne.

Podsumowanie

Chociaż mechanika klasyczna jest z grubsza zgodna z innymi „klasycznymi” teoriami, takimi jak klasyczna elektrodynamika i termodynamika, to pewne sprzeczności odkryte pod koniec XIX wieku są wyjaśniane przez współczesną fizykę. Przykładowo klasyczna elektrodynamika mówi, że prędkość światła w próżni jest stała dla wszystkich obserwatorów – jest to sprzeczne z mechaniką klasyczną, w wyniku czego powstała szczególna teoria względności.

W mechanice klasycznej można wydzielić poddziedziny:

• kinematyka – opisująca ruch jako zagadnienie geometryczne,
• statyka – zajmująca się ciałami nie poruszającymi się i warunkami pozostania ciał w spoczynku (równowadze),
• dynamika – opisująca ruch ciał oraz zmiany ruchu ciał pod wpływem oddziaływań.

Opis ruchu

Podstawowym pojęciem wprowadzanym w mechanice klasycznej jest punkt materialny, który jest obiektem o zaniedbywalnie małych rozmiarach oraz posiadający masę. Ruch punktu materialnego jest scharakteryzowany przez kilka parametrów liczbowych (lub wektorów): jego położenie, masę i siłę działającą na niego. Każdy z tych parametrów zostanie opisany poniżej.

W rzeczywistości obiekty, które opisuje mechanika klasyczna zawsze mają niezerowy rozmiar. Prawdziwy punkt materialny, np. elektron prawidłowo jest opisywany przez mechanikę kwantową. Obiekt o niezerowym rozmiarze ma bardziej skomplikowane zachowanie niż hipotetyczny punkt materialny, ponieważ jego wewnętrzny układ może ulec zmianie – np. podczas lotu piłka może obracać się wokół własnej osi, zmieniając w wyniku tego swój ruch. Jakkolwiek będziemy w stanie użyć naszych rezultatów dla punktu materialnego, aby studiować takie obiekty, traktując je jako zbiorowy obiekt, zbudowany z oddziałujących na siebie punktów materialnych, można pokazać, że takie zbiorowe obiekty zachowują się jak punkt materialny. W omawianym przykładzie piłkę traktujemy jako punkt materialny.

Położenie i wielkości pochodne

Położenie punktu materialnego jest określane względem wybranego punktu odniesienia (O) znajdującego w przestrzeni. Wybrany punkt wraz z innymi ciałami z nim związanymi nazywamy układem odniesienia. Punktowi materialnemu w konkretnym układzie współrzędnych (opisanym przez wektory jednostkowe ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\;i=1,2,3}$) przyporządkowujemy współrzędne ${\displaystyle x^{i}}$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\sum _{i=1}^{3}x^{i}(t)\mathbf {e} _{i}=x^{i}(t)\mathbf {e} _{i}.}$

Wprowadza się pojęcie „ciało fizyczne” lub krótko „ciało” oznaczające dowolny obiekt będący punktem materialnym lub złożony z punktów materialnych.

Położenie ciała definiowane jest jako wektor ${\displaystyle \mathbf {x} (t),}$ ciało nie musi być nieruchome, więc położenie zmienia się w czasie (jest funkcją czasu ${\displaystyle (t)}$).

Prędkość opisuje szybkość zmiany położenia w czasie, jest definiowana jako pochodna położenia po czasie (oznaczana również przez kropkę)

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=v^{i}\mathbf {e} _{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}\mathbf {e} _{i}={\dot {x}}^{i}\mathbf {e} _{i}.}$

Prędkość też zazwyczaj nie jest stała dlatego do opisu jej zmian wprowadza się przyspieszenie, czyli szybkość zmiany prędkości, jest zdefiniowana

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}\mathbf {e} _{i}.}$

Zmiana wektora przyspieszenia może dotyczyć zmiany jego wartości lub kierunku bądź obydwu.

Pojęcie siły i druga zasada dynamiki Newtona

Druga zasada dynamiki Newtona wiąże zmianę masy i prędkości punktu materialnego z siłą. Jeżeli ${\displaystyle m}$ jest masą ${\displaystyle v}$ prędkością punktu materialnego, a ${\displaystyle F}$ jest sumą wektorową sił przyłożonych do niego, to druga zasada dynamiki Newtona głosi, że szybkość zmiany pędu ciała jest równa sile działającej na to ciało, co można wyrazić wzorem:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\mathbf {v} )}{dt}}.}$

Wartość ${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$ jest nazywana pędem i jest ważnym pojęciem mechaniki klasycznej.

Kiedy masa ${\displaystyle m}$ jest stała w czasie, druga zasada dynamiki Newtona może zostać zapisane w prostszej formie:

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$

gdzie: ${\displaystyle a}$ – przyspieszenie, zdefiniowane powyżej.

Nie zawsze masa jest niezależna od czasu, np. masa rakiety na paliwo chemiczne zmniejsza się w miarę zużywania się paliwa. W takiej sytuacji powyższe równanie jest niepoprawne, zatem do opisu powinna być zastosowana pełna forma drugiego prawa Newtona.

Druga zasada dynamiki Newtona wymaga podania siły ${\displaystyle F,}$ która jest miarą oddziaływań naszego ciała z innymi ciałami. Np. typowa siła oporu ruchu piłki w powietrzu jest funkcją prędkości i wielkości piłki.

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {R} }=-\lambda \mathbf {v} ,}$

gdzie:

${\displaystyle \lambda }$ – dodatnia stała zależna od wielkości i kształtu ciała,

minus oznacza, że siła ma przeciwny zwrot do zwrotu prędkości (jest zawsze siłą hamującą).

Gdy tylko znane są siły działające na punkt materialny w postaci funkcji czasu, położenia i prędkości, możemy podstawić je do II prawa Newtona, otrzymując równanie różniczkowe, które jest nazwane dynamicznym równaniem ruchu

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=F^{i}(\mathbf {x} (t),t).}$

Dla przykładu, załóżmy, że tarcie jest jedyną siłą działającą na punkt materialny. Wtedy równanie ruchu przybiera postać:

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-\lambda {\frac {dx^{i}}{dt}}.}$

Równanie to można scałkować otrzymując

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}e^{-\lambda t/m},}$

gdzie ${\displaystyle v_{0}}$ jest prędkością początkową, czyli prędkością ciała w momencie początkowym ${\displaystyle (t=0).}$ Z równania tego wynika, że prędkość tego punktu materialnego zmniejsza się eksponencjalnie do zera w miarę upływu czasu. To wyrażenie może być następnie wycałkowane w celu otrzymania kinematycznego równania ruchu.

Cząstka swobodna

Przy braku działania sił zewnętrznych cząstka porusza się swobodnie. Jej ruch opisany jest prostym równaniem różniczkowym

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=0.}$

Równanie to jest niezmiennicze przy transformacji układu współrzędnych

${\displaystyle x^{i}\to {x'}^{i}=R_{j}^{i}x^{j}+v^{i}t+x_{0}^{i},}$

${\displaystyle t\to t'=t+t_{0}.}$

Właściwe transformacje Galileusza to:

${\displaystyle x^{i}\to {x'}^{i}=x^{i}+v^{i}t+x_{0}^{i},}$

${\displaystyle t\to t'=t+t_{0},}$

tworzących grupę Galileusza. Są one symetrią równania Newtona dla cząstki swobodnej.

Grupa transformacji Galileusza parametryzowana jest przez 10 ciągłych parametrów. Zgodnie z twierdzeniem Noether, gdy grupa ta jest symetrią równań ruchu układu fizycznego odpowiada jej istnienie 10 odpowiednich praw zachowania, np. energii z translacji w czasie, pędu z translacji w przestrzeni, momentu pędu z symetrii obrotowej i pędu środka masy z transformacji właściwej generowanej przez v.

Z transformacji Galileusza wynika prawo składania prędkości. Oznaczmy ${\displaystyle {\vec {u}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}},}$ ${\displaystyle {\vec {u'}}={\frac {d{\vec {x'}}}{dt}},}$ z właściwej transformacji Galileusza różniczkując, otrzymujemy

${\displaystyle {\vec {u'}}={\vec {u}}+{\vec {v}}.}$

Formalizm Lagrange’a

Równania ruchu Newtona można wyprowadzić w formalizmie Lagrange’a z zasady ekstremum funkcjonału nazywanego całką działania ${\displaystyle S[\mathbf {x} (t)].}$ Funkcjonał ten zdefiniowany jest poprzez funkcje Lagrange’a

${\displaystyle L(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)}$

${\displaystyle S[\mathbf {x} (t)]=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}dtL(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t).}$

Warunek na ekstremum tego funkcjonału (δS=0) generuje równania Eulera-Lagrange’a

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{i}}}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}.}$

Na równania te można spojrzeć jak na równania Newtona, kojarząc pęd jako

${\displaystyle p^{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{i}}},}$

a siłę jako

${\displaystyle F^{i}(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}.}$

Otrzymamy dokładną postać równania Newtona gdy zdefiniujemy funkcje Lagrange’a jako

${\displaystyle L(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)={\frac {1}{2}}m\mathbf {\dot {x}} ^{2}-U(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t).}$

Szczególną grupą są siły zachowawcze – mogą być one wyrażane jako gradient funkcji skalarnej, zwanej energią potencjalną i oznaczaną U:

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla U}$

lub

${\displaystyle \mathbf {F} ^{i}=-{\frac {\partial {U}}{\partial x^{i}}}=-\partial _{i}U.}$

Niezwykle ważną w zastosowaniach cechą formalizmu Lagrange’a jest niezmienniczość równania Eulera-Lagrange’a względem wyboru układu współrzędnych. Fakt ten nie jest prawdziwy dla sformułowania Newtona, którego forma ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$ ma miejsce tylko we współrzędnych kartezjańskich. Niezmienniczość równania Eulera-Lagrange’a umożliwia dobór współrzędnych dopasowanych do symetrii badanego układu mechanicznego lub jego więzów. Redukuje się w ten sposób liczbę stopni swobody problemu lub eliminuje z obliczeń konieczność rozważania sił więzów.

Energia układu fizycznego

Siła F przyłożona do punktu materialnego, którego przesunięcie wynosi δr wykonuje pracę, praca wykonana przez siłę jest wielkością skalarną opisaną wzorem:

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .}$

Zakładając, że masa punktu materialnego jest stała i δW_total jest całkowitą pracą wykonaną na punkcie materialnym, którą otrzymujemy poprzez sumowanie prac wykonanych przez każdą siłę przyłożoną do punktu. Na podstawie drugiego prawa Newtona możemy pokazać, że

${\displaystyle \delta W_{\mathrm {total} }=\delta T,}$

gdzie ${\displaystyle T}$ jest energią kinetyczną. Dla punktu materialnego jest zdefiniowana:

${\displaystyle T={\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {\dot {x}} ^{2}.}$

Dla obiektów złożonych z wielu punktów materialnych, energia kinetyczna jest sumą energii kinetycznych poszczególnych punktów materialnych. Zatem

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} =-\nabla U\cdot \delta \mathbf {r} =-\delta U}$

${\displaystyle \Rightarrow -\delta U=\delta T}$

${\displaystyle \Rightarrow \delta (T+U)=0.}$

Ten rezultat znany jako zachowanie energii mechanicznej, a stan w którym całkowita energia

${\displaystyle E=T+U={\frac {1}{2}}m\mathbf {\dot {x}} ^{2}+U}$

jest stała w czasie nazywamy układem zachowawczym. Prawo to jest często używane, ponieważ wiele spotykanych sił to siły zachowawcze (ważnym wyjątkiem jest siła tarcia i oporu). Idea zachowania energii mechanicznej została rozszerzona na inne przypadki oddziaływań w wyniku czego utworzono pojęcie energia, a zasada zachowania energii jest najważniejszą zasadą zachowania w fizyce.

Formalizm Hamiltona

Energię układu fizycznego wyrazić można poprzez położenie i pęd {${\displaystyle x^{i},p^{i}}$}. Zbiór takich par definiuje przestrzeń fazową. Punkt w przestrzeni fazowej w pełni określa układ fizyczny, nazywamy go stanem układu w mechanice klasycznej (patrz stan kwantowy w mechanice kwantowej). Energię jako funkcję położenia i pędu nazywamy funkcją Hamiltona lub hamiltonianem. Definiujemy ją jako

${\displaystyle H(x,p,t)=\sum _{i}p_{i}v^{i}(x,p,t)-L(x,v(x,p,t),t).}$

Dla cząstek w polu potencjału ${\displaystyle U}$

${\displaystyle H(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+U(x,t).}$

Równania Lagrange’a można zastąpić układem dwóch równań (równania Hamiltona) pierwszego rzędu

${\displaystyle {\frac {dp^{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial x^{i}}}=-{\frac {\partial U}{\partial x^{i}}}=F^{i}}$

${\displaystyle {\frac {dx^{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p^{i}}}.}$

Definiując nawiasy Poissona

${\displaystyle [A,B]=\sum _{i}\left({\frac {\partial A}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial B}{\partial p^{i}}}-{\frac {\partial B}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial A}{\partial p^{i}}}\right)}$

zmianę dowolnej wielkości fizycznej ${\displaystyle F(x,p)}$ z czasem można przedstawić jako

${\displaystyle {\frac {dF}{dt}}=-[H,F]+{\frac {\partial F}{\partial t}}.}$

Jeżeli wielkość fizyczna ${\displaystyle F}$ jawnie nie zależy od czasu

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial t}}=0,}$

to będzie zachowana (jest stałą ruchu), gdy

${\displaystyle {\frac {dF}{dt}}=0\to [H,F]=0}$

będzie komutowała z hamiltonianem. Mówimy, że dwie wielkości A, B komutują, gdy ${\displaystyle [A,B]=0.}$

Przykładem wielkości niekomutujących jest pęd i położenie

${\displaystyle [x^{i},p^{j}]=\delta _{ij}.}$

W mechanice kwantowej oznaczać to będzie niemożność jednoczesnego pomiaru tych wielkości (zasada nieoznaczoności).

Przypisy

Bibliografia

• Rosu, Haret C., „Classical Mechanics”. Physics Education. 1999. [arxiv.org: physics/9909035].

Linki zewnętrzne

Zobacz multimedia związane z tematem: Mechanika klasyczna

• SzymonS. Charzyński SzymonS., KrzysztofK. Turzyński KrzysztofK., Mechanika analityczna, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, wrzesień 2016, ISSN 0137-3005 [dostęp 2021-10-04]  (pol.).
• Mechanics, classical (ang.), Routledge Encyclopedia of Philosophy, rep.routledge.com [dostęp 2023-05-08].